mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 13, 2023 1:40 pm**

Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός

μπορεί να γραφτεί (κατά μοναδικό τρόπο) στη μορφή $n=2^{\kappa}q$
όπου $\kappa \in \mathbb{N}$ και

περιττός θετικός ακέραιος.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 13, 2023 2:10 pm**

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 1:40 pm
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί (κατά μοναδικό τρόπο) στη μορφή $n=2^{\kappa}q$
όπου $\kappa \in \mathbb{N}$ και περιττός θετικός ακέραιος.

Αποδεικνύεται με πολλούς τρόπους. Ας δούμε έναν με έτοιμα θεωρήματα:

Κάθε θετικός ακέραιος έχει μοναδική παράσταση ως γινόμενο πρώτων, $n=2_kp_2^{m_2}\cdot ...\cdot p_n^{m_n}$ . Τα p_j

είναι περιττοί πρώτοι, και οι εκθέτες

και

μπορεί να είναι

. Παίρνουμε ως $q= p_2^{m_2}\cdot ...\cdot p_n^{m_n}$ , οπότε n=2^kq

με

περιττό. H παράσταση αυτή είναι μοναδική. Αυτό είναι άμεσο γιατί αν υπήρχε παράσταση όπου κάποιο από τα 2^k

ή

ήταν διαφορετικό, τότε θα γράφοντας τα

ως γινόμενο πρώτων, θα είχαμε δύο διαφορετικές αναλύσεις του

ως γινόμενο πρώτων.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 14, 2023 12:59 am**

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 1:40 pm
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί (κατά μοναδικό τρόπο) στη μορφή $n=2^{\kappa}q$
όπου $\kappa \in \mathbb{N}$ και περιττός θετικός ακέραιος.

Πάρα μα πάρα πολύ απλό.
Αγγίζει τα όρια του τετριμένου.
Σε πολλές αποδείξεις χρησιμοποιείται χωρίς καμία εξήγηση.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 14, 2023 12:53 pm**

Ένας πολύ απλός τρόπος είναι και ο εξής:
Αν

περιττός, τότε $n=2^{0}.n$ και τελειώσαμε.
Αν

άρτιος, τότε n=2.n_1

. Αν

περιττός, τελειώσαμε. Αν n_1

άρτιος, τότε n_1 =2.n_2

και άρα

.
Αν

περιττός, τελειώσαμε. Αν άρτιος, ακολουθούμε την προηγούμενη πορεία κ.ο.κ

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Αύγ 14, 2023 5:19 pm**

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 13, 2023 1:40 pm
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί (κατά μοναδικό τρόπο) στη μορφή $n=2^{\kappa}q$
όπου $\kappa \in \mathbb{N}$ και περιττός θετικός ακέραιος.

Για να κλείνει, αν και δεν νομίζω ότι έχει κανείς ανάγκη για λύση, πόσο μάλλον για άλλη μία λύση.

'Εστω 2^k

η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί τον

. Αφού

, έπεται ότι για κάποιο

είναι

. Προφανώς

περιττός διότι αν q=2p

τότε $n= 2^kq=2^{k+1}p$ , δηλαδή υπάρχει ακόμα μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί τον

, αντίθετα από τον ορισμό του

. Τελειώσαμε.

Μοναδικότητα: Έστω n= 2^kq=2^lp

για περιττά p,q

. Αν

(όμοια αν

) θα είχαμε $2^{k-l} q =p$ , άτοπο γιατί δίνει "άρτιος = περιττός". Και λοιπά.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 16, 2023 7:08 pm**

stranger έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 12:59 am
Πάρα μα πάρα πολύ απλό.
Αγγίζει τα όρια του τετριμένου.
Σε πολλές αποδείξεις χρησιμοποιείται χωρίς καμία εξήγηση.

Θυμάμαι παλαιότερα (ίσως τότε να μην υπήρχατε στο φόρουμ), δεχόμουνα παρατηρήσεις γιατί κάποια θέματα ήταν
υψηλότερου επιπέδου των αναγκών του διαγωνισμού.
Κατέληξα με την πάροδο των χρόνων πως τελικά η ευκολία ή η δυσκολία των θεμάτων εδώ δεν έχει και τόση σημασία.
Σημασία έχει όμως η πολύπλευρη προσέγγιση και αυτόν τον σκοπό έχουν οι δημοσιεύσεις μου.
Κάποιος που θα ανοίξει τον φάκελο να ωφεληθεί πολλαπλώς.
Ειλικρινά δεν με ενδιαφέρει αν σας φάνηκε εύκολο ή δύσκολο.
Καλή συνέχεια!

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Αύγ 16, 2023 8:02 pm**

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 16, 2023 7:08 pm

stranger έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 14, 2023 12:59 am
Πάρα μα πάρα πολύ απλό.
Αγγίζει τα όρια του τετριμένου.
Σε πολλές αποδείξεις χρησιμοποιείται χωρίς καμία εξήγηση.
Θυμάμαι παλαιότερα (ίσως τότε να μην υπήρχατε στο φόρουμ), δεχόμουνα παρατηρήσεις γιατί κάποια θέματα ήταν
υψηλότερου επιπέδου των αναγκών του διαγωνισμού.
Κατέληξα με την πάροδο των χρόνων πως τελικά η ευκολία ή η δυσκολία των θεμάτων εδώ δεν έχει και τόση σημασία.
Σημασία έχει όμως η πολύπλευρη προσέγγιση και αυτόν τον σκοπό έχουν οι δημοσιεύσεις μου.
Κάποιος που θα ανοίξει τον φάκελο να ωφεληθεί πολλαπλώς.
Ειλικρινά δεν με ενδιαφέρει αν σας φάνηκε εύκολο ή δύσκολο.
Καλή συνέχεια!

Επιτρέψτε μου να συμφωνήσω με την αντίληψη του Χρήστου. Δηλαδή όταν τίθεται ένα θέμα προς λύση ή διαπραγμάτευση, τότε υπάρχουν μόνο δύο δρόμοι: Να λυθεί ή να μην λυθεί. Όταν λυθεί είναι επιτυχία ανεξάρτητα με τον τρόπο που λύθηκε. Αν δεν λυθεί και συνεχίζει να μας ενδιαφέρει διδασκόμαστε ανιχνεύοντας και εν τέλει συνειδητοποιούμε το γιατί δεν το λύσαμε και έτσι προχωράμε. Όλα τα άλλα δεν χωρούν σε Μαθηματική συζήτηση καθότι οι "φιλολογικού τύπου" χαρακτηρισμοί δεν μπορεί να είναι μέρος της Μαθηματικής λύσης και βέβαια αποτελούν δικές μας και μόνο για εμάς σκέψεις.

mathematica.gr

Παράσταση φυσικού

Παράσταση φυσικού

Re: Παράσταση φυσικού

Re: Παράσταση φυσικού

Re: Παράσταση φυσικού

Re: Παράσταση φυσικού

Re: Παράσταση φυσικού

Re: Παράσταση φυσικού