Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6965
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm

Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
ohgreg
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 26, 2021 11:22 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ohgreg » Παρ Απρ 14, 2023 10:02 pm

geogebra-export.png
geogebra-export.png (485.95 KiB) Προβλήθηκε 5383 φορές
Καλησπέρα!
Μια λύση είναι η εξής:

Φέρνουμε τις κάθετες από το σημείο C που τέμνουν τα HD,HB στα σημεία K,L αντίστοιχα.
Για να δείξουμε ότι η HC είναι διχοτόμος της D\widehat{H}B, αρκεί να δείξουμε ότι LC=KC.

Είναι: L\widehat{B}C=Z\widehat{B}C=B\widehat{Z}A\Rightarrow sin(L\widehat{B}C)=sin(B\widehat{Z}A)\:(1),
και αντίστοιχα: sin(K\widehat{D}C)=sin(D\widehat{E}A)\:(2).

Ακόμα από το παραλληλόγραμμο ισχυεί: AD=BC\:(3) και AB=DC\:(4).

Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των \Delta ZAB, \Delta EAD είναι ίσοι, διότι \widehat{A} κοινή και ZB=ED (εύκολα προκύπτει από τον νόμο των ημιτόνων).

Συνέπως, θα πρέπει πάλι από τον νόμο των ημιτόνων να ισχύει:

\dfrac{AD}{sin(A\widehat{E}D)}=\dfrac{AB}{sin(A\widehat{Z}B)}=2R\overset{(1),(2),(3),(4)}{\Longrightarrow}\dfrac{BC}{sin(K\widehat{D}C)}=\dfrac{DC}{sin(L\widehat{B}C)}\Rightarrow
\Rightarrow BC\cdot sin(L\widehat{B}C)=DC \cdot sin(K\widehat{D}C)\Rightarrow LC=KC, που είναι και το ζητούμενο.

Αξίζει να δούμε και ένα σχεδόν πανομοιότυπο:

Έστω παραλληλόγραμμο ABCD με E, Z σημεία των πλευρών AB, AD αντίστοιχα,
τέτοια ώστε να ισχύει EB=ZD. Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων DE,BZ,
τότε να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα CH διχοτομεί την D\widehat{C}B.
τελευταία επεξεργασία από ohgreg σε Παρ Απρ 14, 2023 11:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ντερέκης Γρηγόρης
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 6016
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Απρ 14, 2023 11:09 pm

chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έσω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.
Εύχομαι υγεία!
\displaystyle{(\Gamma BZ)=\left ( E\Delta \Gamma  \right )=\frac{(AB\Gamma) }{2}\Rightarrow d_{ZB}\left ( \Gamma  \right )=d_{\Delta E}\left ( \Gamma  \right )},

οπότε το σημείο \displaystyle{\Gamma είναι σημείο της διχοτόμου της \angle \Delta HB.}


edit: Τοποθέτηση μίας "ξεχασμένης" παρένθεσης στο κλάσμα.
τελευταία επεξεργασία από S.E.Louridas σε Σάβ Απρ 15, 2023 10:02 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13438
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 15, 2023 9:42 am

S.E.Louridas έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 11:09 pm
chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έσω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.
Εύχομαι υγεία!
(\Gamma BZ)=\left ( E\Delta \Gamma  \right )=\frac{AB\Gamma }{2}\Rightarrow d_{ZB}\left ( \Gamma  \right )=d_{\Delta E}\left ( \Gamma  \right ),

οπότε το σημείο \Gamma είναι σημείο της διχοτόμου της \angle \Delta HB.
:coolspeak:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13438
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 15, 2023 11:09 am

chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έσω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!
Καλή Ανάσταση!

Φέρνω \displaystyle DF||BZ,HM||BC\left( {F \in BC,M \in DF} \right) και έστω P, T τα κοινά σημεία των EF, BH και

DF, HC. Προφανώς, \displaystyle F\widehat ED = E\widehat FD. Αρκεί να δείξω ότι EF||CH.
Από παραλληλόγραμμο...png
Από παραλληλόγραμμο...png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 5261 φορές
Πράγματι, \displaystyle BH||FT \Leftrightarrow \frac{{BP}}{{PH}} = \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{HM}}{{FC}} = \frac{{HT}}{{TC}} που αποδεικνύει την παραλληλία των EF,CH.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13438
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 15, 2023 12:01 pm

ohgreg έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 10:02 pm
geogebra-export.png
Καλησπέρα!

Αξίζει να δούμε και ένα σχεδόν πανομοιότυπο:

Έστω παραλληλόγραμμο ABCD με E, Z σημεία των πλευρών AB, AD αντίστοιχα,
τέτοια ώστε να ισχύει EB=ZD. Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων DE,BZ,
τότε να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα CH διχοτομεί την D\widehat{C}B.
Πολύ πιο εύκολη εκδοχή αυτή.
Π-Δ.png
Π-Δ.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 5251 φορές
\displaystyle \frac{{DH}}{{HK}} = \frac{{DZ}}{{BK}} = \frac{{BE}}{{BK}} = \frac{{DC}}{{CK}} και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6965
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Απρ 15, 2023 6:40 pm

Καλησπέρα σας!
Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις λύσεις που προσφέρατε!
Την άσκηση αυτή την βρήκα σε ένα βιβλίο Γεωμετρίας που αγόρασα πρόσφατα, άλυτη και να βρίσκεται στο κεφάλαιο των παραλληλογράμμων.
Προσπάθησα να την λύσω με ύλη σχετική αλλά δεν μπόρεσα. Απ' ότι βλέπω όμως υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι.
Ευχαριστώ ξανά. Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.
Καλή συνέχεια!


Χρήστος Κυριαζής
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Απρ 18, 2023 2:29 am

Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Σάβ Φεβ 10, 2024 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 15160
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 18, 2023 9:28 am

Μερικές ακόμα σχετικές αντιμετωπίσεις εδώ .


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 841
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Απρ 18, 2023 12:17 pm

orestisgotsis έγραψε:
Τρί Απρ 18, 2023 2:29 am
chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png


Κύριε Χρήστο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

(Τα τμήματα με το ίδιο χρώμα είναι παράλληλα)

Φέρνω τη μεσοκάθετη του HC και από το C παράλληλη προς τη DE η οποία τέμνει τη

μεσοκάθετη στο S, άρα HS=CS, οπότε C\widehat{H}\,B=H\widehat{C}\,S\,\,\,\,\,(1) και από την παραλληλία

των DE και CS θα είναι H\widehat{C}\,S=D\widehat{H}C\,\,\,\,\,(2). Από (1), (2) έπεται το ζητούμενο.

(Οι παραλληλίες δίνουν και {{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{H}}_{1}}, {{\widehat{C\,}}_{2}}=\widehat{H}{{\,}_{2}}\,\,).

Παρατήρηση: Πρέπει να εξεταστούν και οι ακραίες θέσεις των σημείων.

Για παράδειγμα αν E\equiv A\,\,\, κ. τ. λ.
Καλησπέρα. Δεν είναι σωστή η απόδειξη γιατί έχεις πάρει σαν δεδομένο ότι H,B,S συνευθειακά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τρί Απρ 18, 2023 1:02 pm

Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Σάβ Φεβ 10, 2024 12:01 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm

Κενό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Τετ Νοέμ 08, 2023 8:35 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Πέμ Απρ 20, 2023 6:50 pm

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm
chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,, KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,. Τότε HMKN\,\,\,ρόμβος. Από Π.Θ. CN=CM.
Ορέστη, η απόδειξη είναι λανθασμένη. Εξηγώ: Κατασεκευάζεις το παραλληλόγραμμο HNKM, ωραία, αλλά πώς ξέρεις ότι K\in CH ;


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Απρ 20, 2023 7:04 pm

Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Σάβ Φεβ 10, 2024 12:01 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Πέμ Απρ 20, 2023 7:26 pm

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 7:04 pm
Henri van Aubel έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 6:50 pm
orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm
chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,, KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,. Τότε HMKN\,\,\,ρόμβος. Από Π.Θ. CN=CM.
Ορέστη, η απόδειξη είναι λανθασμένη. Εξηγώ: Κατασεκευάζεις το παραλληλόγραμμο HNKM, ωραία, αλλά πώς ξέρεις ότι K\in CH ;
Το Κ ανήκει στην ΗΚ, γι’ αυτό μετά φτιάχνω το ισοσκελές που περιέχει
την OC, άρα και το Κ. Άλλωστε η μεσοκάθετος της ΜΝ μία είναι.
Ορέστη, έχεις δείξει ότι KH μεσοκάθετος της MN,[/teχ]. Οπότε \angle KON=90^\circ με O\equiv HK\cap MN. Όμως μετά κάνεις Π.Θ θεωρώντας ότι \angle CON=90^\circ, χωρίς να έχεις δείξει την συνευθειακότητα των O,K,C, δηλαδή δεν έχεις δείξει ότι K\in CH, άρα η απόδειξη είναι λανθασμένη.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Απρ 20, 2023 7:45 pm

Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Σάβ Φεβ 10, 2024 12:02 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Henri van Aubel
Δημοσιεύσεις: 876
Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Henri van Aubel » Πέμ Απρ 20, 2023 7:53 pm

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 7:45 pm
Henri van Aubel έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 7:26 pm
orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 7:04 pm
Henri van Aubel έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 6:50 pm
orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm
chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,, KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,. Τότε HMKN\,\,\,ρόμβος. Από Π.Θ. CN=CM.
Ορέστη, η απόδειξη είναι λανθασμένη. Εξηγώ: Κατασεκευάζεις το παραλληλόγραμμο HNKM, ωραία, αλλά πώς ξέρεις ότι K\in CH ;
Το Κ ανήκει στην ΗΚ, γι’ αυτό μετά φτιάχνω το ισοσκελές που περιέχει
την OC, άρα και το Κ. Άλλωστε η μεσοκάθετος της ΜΝ μία είναι.
Ορέστη, έχεις δείξει ότι KH μεσοκάθετος της MN,[/teχ]. Οπότε \angle KON=90^\circ με O\equiv HK\cap MN. Όμως μετά κάνεις Π.Θ θεωρώντας ότι \angle CON=90^\circ, χωρίς να έχεις δείξει την συνευθειακότητα των O,K,C, δηλαδή δεν έχεις δείξει ότι K\in CH, άρα η απόδειξη είναι λανθασμένη.
Είναι το ΗΝΚΜ παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες; Ναι.
Άρα είναι ρόμβος και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Με Π.Θ δείχνω
ότι το τρίγωνο C M N είναι ισοσκελές με το ύψος από την κορυφή του να
είναι και διάμεσος, οπότε θα διέλθει από το μέσο Ο της ΜΝ κ.λπ.
Για να κάνεις Π.Θ, έχεις χρησιμοποιήσει ως δεδομένο ότι \angle CON=90^\circ, πράγμα που δεν μπορείς να ισχυριστείς, εφόσον δεν έχεις αποδείξει την συνευθειακότητα των O,K,C. Ας με επιβεβαιώσει κάποιος ,η απόδειξή σου είναι εντελώς λανθασμένη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13438
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 21, 2023 8:43 am

Ορέστη, έχει δίκιο ο Κώστας. Η συνευθειακότητα των H, K, C δεν έχει αποδειχτεί. Όλη η κατασκευή
θεωρεί δεδομένο αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε, δηλαδή ότι η CH διχοτομεί τη γωνία D\widehat HB.
Αλλιώς δεν μπορούμε να ξέρουμε ότι το K είναι σημείο της HC.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10012
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 21, 2023 9:41 am

orestisgotsis έγραψε:
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm
chris_gatos έγραψε:
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και E,Z σημεία των πλευρών AB, A\Delta αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει \Delta E=BZ.
Αν H είναι το σημείο τομής των τμημάτων \Delta E, BZ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα \Gamma H διχοτομεί την γωνία \Delta \widehat{H}B.

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,, KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,. Τότε HMKN\,\,\,ρόμβος. Από Π.Θ. CN=CM.
Αν και δεν θέλω να μπαίνω σε « ξένα χωράφια».
Orestisgotsis_1.png
Orestisgotsis_1.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 4776 φορές
Ναι μεν ή σκέψη του Ορέστη είναι καλή , εν τούτοις με αυτό τον τρόπο δεν σώζεται με τίποτα τέτοια απόδειξη.

Κατά την κίνηση του E στην ( εν γένει) ευθεία AB, το σημείο τομής, H της εκφώνησης διαγράφει τον ένα κλάδο υπερβολής .

Δεν υπάρχει λοιπόν καμιά σταθερή ευθεία στην οποία ανήκει το H. Δηλαδή η διχοτόμος , HC δεν έχει σταθερή κλίση!

Συνεπώς υπάρχει μεν το K αλλά δεν ανήκει στην ευθεία HC.
Orestisgotsis_2.png
Orestisgotsis_2.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 4776 φορές


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1753
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Δευ Απρ 24, 2023 4:48 pm

Περιττό
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Σάβ Φεβ 10, 2024 12:02 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες