Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

#1

Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και E,Z

σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν

είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!

ohgreg · #2

: geogebra-export.png (485.95 KiB) Προβλήθηκε 4323 φορές

Καλησπέρα!
Μια λύση είναι η εξής:

Φέρνουμε τις κάθετες από το σημείο

που τέμνουν τα HD,HB

στα σημεία K,L

αντίστοιχα.
Για να δείξουμε ότι η

είναι διχοτόμος της $D\widehat{H}B$ , αρκεί να δείξουμε ότι LC=KC

.

Είναι: $L\widehat{B}C=Z\widehat{B}C=B\widehat{Z}A\Rightarrow sin(L\widehat{B}C)=sin(B\widehat{Z}A)\:(1),$
και αντίστοιχα: $sin(K\widehat{D}C)=sin(D\widehat{E}A)\:(2).$

Ακόμα από το παραλληλόγραμμο ισχυεί: $AD=BC\:(3)$ και $AB=DC\:(4).$

Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των $\Delta ZAB, \Delta EAD$ είναι ίσοι, διότι $\widehat{A}$ κοινή και ZB=ED

(εύκολα προκύπτει από τον νόμο των ημιτόνων).

Συνέπως, θα πρέπει πάλι από τον νόμο των ημιτόνων να ισχύει:

$\dfrac{AD}{sin(A\widehat{E}D)}=\dfrac{AB}{sin(A\widehat{Z}B)}=2R\overset{(1),(2),(3),(4)}{\Longrightarrow}\dfrac{BC}{sin(K\widehat{D}C)}=\dfrac{DC}{sin(L\widehat{B}C)}\Rightarrow$
$\Rightarrow BC\cdot sin(L\widehat{B}C)=DC \cdot sin(K\widehat{D}C)\Rightarrow LC=KC$ , που είναι και το ζητούμενο.

Αξίζει να δούμε και ένα σχεδόν πανομοιότυπο:

Έστω παραλληλόγραμμο ABCD

με

σημεία των πλευρών AB, AD

αντίστοιχα,
τέτοια ώστε να ισχύει EB=ZD

. Αν

είναι το σημείο τομής των τμημάτων DE,BZ

,
τότε να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα

διχοτομεί την $D\widehat{C}B$ .

S.E.Louridas · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έσω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .
Εύχομαι υγεία!

$\displaystyle{(\Gamma BZ)=\left ( E\Delta \Gamma \right )=\frac{(AB\Gamma) }{2}\Rightarrow d_{ZB}\left ( \Gamma \right )=d_{\Delta E}\left ( \Gamma \right )}$ ,

οπότε το σημείο $\displaystyle{\Gamma$ είναι σημείο της διχοτόμου της $\angle \Delta HB.}$

edit: Τοποθέτηση μίας "ξεχασμένης" παρένθεσης στο κλάσμα.

#4

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 11:09 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έσω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .
Εύχομαι υγεία!
$(\Gamma BZ)=\left ( E\Delta \Gamma \right )=\frac{AB\Gamma }{2}\Rightarrow d_{ZB}\left ( \Gamma \right )=d_{\Delta E}\left ( \Gamma \right )$ ,

οπότε το σημείο $\Gamma$ είναι σημείο της διχοτόμου της $\angle \Delta HB.$

#5

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έσω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!

Καλή Ανάσταση!

Φέρνω $\displaystyle DF||BZ,HM||BC\left( {F \in BC,M \in DF} \right)$ και έστω P, T

τα κοινά σημεία των EF, BH

και

Προφανώς, $\displaystyle F\widehat ED = E\widehat FD.$ Αρκεί να δείξω ότι EF||CH.

: Από παραλληλόγραμμο...png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 4201 φορές

Πράγματι, $\displaystyle BH||FT \Leftrightarrow \frac{{BP}}{{PH}} = \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{HM}}{{FC}} = \frac{{HT}}{{TC}}$ που αποδεικνύει την παραλληλία των EF,CH.

#6

ohgreg έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 10:02 pm
geogebra-export.png
Καλησπέρα!

Αξίζει να δούμε και ένα σχεδόν πανομοιότυπο:

Έστω παραλληλόγραμμο με σημεία των πλευρών αντίστοιχα,
τέτοια ώστε να ισχύει . Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων ,
τότε να αποδειχθεί ότι το ευθύγραμμο τμήμα διχοτομεί την $D\widehat{C}B$ .

Πολύ πιο εύκολη εκδοχή αυτή.

: Π-Δ.png (11.48 KiB) Προβλήθηκε 4191 φορές

$\displaystyle \frac{{DH}}{{HK}} = \frac{{DZ}}{{BK}} = \frac{{BE}}{{BK}} = \frac{{DC}}{{CK}}$ και το ζητούμενο έπεται.

#7

Καλησπέρα σας!
Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις λύσεις που προσφέρατε!
Την άσκηση αυτή την βρήκα σε ένα βιβλίο Γεωμετρίας που αγόρασα πρόσφατα, άλυτη και να βρίσκεται στο κεφάλαιο των παραλληλογράμμων.
Προσπάθησα να την λύσω με ύλη σχετική αλλά δεν μπόρεσα. Απ' ότι βλέπω όμως υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι.
Ευχαριστώ ξανά. Αν βρεθεί κάποια λύση με θεωρία Γεωμετρίας Α λυκείου, με υλικά μέχρι παραλληλόγραμμα, θα με ενδιέφερε.
Καλή συνέχεια!

orestisgotsis · #8

Περιττό

KARKAR · #9

Μερικές ακόμα σχετικές αντιμετωπίσεις εδώ .

Λάμπρος Κατσάπας · #10

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 18, 2023 2:29 am

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

Κύριε Χρήστο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

(Τα τμήματα με το ίδιο χρώμα είναι παράλληλα)

Φέρνω τη μεσοκάθετη του και από το παράλληλη προς τη η οποία τέμνει τη

μεσοκάθετη στο , άρα , οπότε $C\widehat{H}\,B=H\widehat{C}\,S\,\,\,\,\,(1)$ και από την παραλληλία

των και θα είναι $H\widehat{C}\,S=D\widehat{H}C\,\,\,\,\,(2)$ . Από (1), (2) έπεται το ζητούμενο.

(Οι παραλληλίες δίνουν και ${{\widehat{C}}_{1}}={{\widehat{H}}_{1}}$ , ${{\widehat{C\,}}_{2}}=\widehat{H}{{\,}_{2}}\,\,)$ .

Παρατήρηση: Πρέπει να εξεταστούν και οι ακραίες θέσεις των σημείων.

Για παράδειγμα αν $E\equiv A\,\,\,$ κ. τ. λ.

Καλησπέρα. Δεν είναι σωστή η απόδειξη γιατί έχεις πάρει σαν δεδομένο ότι H,B,S

συνευθειακά.

orestisgotsis · #11

Περιττό

orestisgotsis · #12

Κενό

Henri van Aubel · #13

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

$HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,$ , $KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,$ . Τότε $HMKN\,\,\,$ ρόμβος. Από Π.Θ. .

Ορέστη, η απόδειξη είναι λανθασμένη. Εξηγώ: Κατασεκευάζεις το παραλληλόγραμμο HNKM,

ωραία, αλλά πώς ξέρεις ότι $K\in CH$ ;

orestisgotsis · #14

Περιττό

Henri van Aubel · #15

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 7:04 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 6:50 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

$HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,$ , $KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,$ . Τότε $HMKN\,\,\,$ ρόμβος. Από Π.Θ. .
Ορέστη, η απόδειξη είναι λανθασμένη. Εξηγώ: Κατασεκευάζεις το παραλληλόγραμμο ωραία, αλλά πώς ξέρεις ότι $K\in CH$ ;
Το Κ ανήκει στην ΗΚ, γι’ αυτό μετά φτιάχνω το ισοσκελές που περιέχει
την OC, άρα και το Κ. Άλλωστε η μεσοκάθετος της ΜΝ μία είναι.

Ορέστη, έχεις δείξει ότι

μεσοκάθετος της MN,[/teχ]. Οπότε $\angle KON=90^\circ$ με $O\equiv HK\cap MN.$ Όμως μετά κάνεις Π.Θ θεωρώντας ότι $\angle CON=90^\circ,$ χωρίς να έχεις δείξει την συνευθειακότητα των O,K,C,

δηλαδή δεν έχεις δείξει ότι $K\in CH,$ άρα η απόδειξη είναι λανθασμένη.

orestisgotsis · #16

Περιττό

Henri van Aubel · #17

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 7:45 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 7:26 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 7:04 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 6:50 pm

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

$HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,$ , $KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,$ . Τότε $HMKN\,\,\,$ ρόμβος. Από Π.Θ. .
Ορέστη, η απόδειξη είναι λανθασμένη. Εξηγώ: Κατασεκευάζεις το παραλληλόγραμμο ωραία, αλλά πώς ξέρεις ότι $K\in CH$ ;
Το Κ ανήκει στην ΗΚ, γι’ αυτό μετά φτιάχνω το ισοσκελές που περιέχει
την OC, άρα και το Κ. Άλλωστε η μεσοκάθετος της ΜΝ μία είναι.
Ορέστη, έχεις δείξει ότι μεσοκάθετος της MN,[/teχ]. Οπότε $\angle KON=90^\circ$ με $O\equiv HK\cap MN.$ Όμως μετά κάνεις Π.Θ θεωρώντας ότι $\angle CON=90^\circ,$ χωρίς να έχεις δείξει την συνευθειακότητα των δηλαδή δεν έχεις δείξει ότι $K\in CH,$ άρα η απόδειξη είναι λανθασμένη.
Είναι το ΗΝΚΜ παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες; Ναι.
Άρα είναι ρόμβος και οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα. Με Π.Θ δείχνω
ότι το τρίγωνο C M N είναι ισοσκελές με το ύψος από την κορυφή του να
είναι και διάμεσος, οπότε θα διέλθει από το μέσο Ο της ΜΝ κ.λπ.

Για να κάνεις Π.Θ, έχεις χρησιμοποιήσει ως δεδομένο ότι $\angle CON=90^\circ,$ πράγμα που δεν μπορείς να ισχυριστείς, εφόσον δεν έχεις αποδείξει την συνευθειακότητα των O,K,C.

Ας με επιβεβαιώσει κάποιος ,η απόδειξή σου είναι εντελώς λανθασμένη.

#18

Ορέστη, έχει δίκιο ο Κώστας. Η συνευθειακότητα των H, K, C

δεν έχει αποδειχτεί. Όλη η κατασκευή
θεωρεί δεδομένο αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε, δηλαδή ότι η

διχοτομεί τη γωνία $D\widehat HB.$
Αλλιώς δεν μπορούμε να ξέρουμε ότι το

είναι σημείο της HC.

#19

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 20, 2023 5:24 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Απρ 14, 2023 3:20 pm
Καλησπέρα και καλή Ανάσταση.
Έστω ένα παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και σημεία των πλευρών $AB, A\Delta$ αντίστοιχα
τέτοια, ώστε να ισχύει $\Delta E=BZ$ .
Αν είναι το σημείο τομής των τμημάτων $\Delta E, BZ$ τότε
να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα $\Gamma H$ διχοτομεί την γωνία $\Delta \widehat{H}B$ .

Εύχομαι υγεία!
Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!.png

$HN=DE,\,\,\,HM=BZ\,\,\,$ , $KN\,\|\,HM,\,\,\,KM\,\|\,HN\,\,\,$ . Τότε $HMKN\,\,\,$ ρόμβος. Από Π.Θ. .

Αν και δεν θέλω να μπαίνω σε « ξένα χωράφια».

: Orestisgotsis_1.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 3716 φορές

Ναι μεν ή σκέψη του Ορέστη είναι καλή , εν τούτοις με αυτό τον τρόπο δεν σώζεται με τίποτα τέτοια απόδειξη.

Κατά την κίνηση του

στην ( εν γένει) ευθεία

, το σημείο τομής,

της εκφώνησης διαγράφει τον ένα κλάδο υπερβολής .

Δεν υπάρχει λοιπόν καμιά σταθερή ευθεία στην οποία ανήκει το

. Δηλαδή η διχοτόμος ,

δεν έχει σταθερή κλίση!

Συνεπώς υπάρχει μεν το

αλλά δεν ανήκει στην ευθεία

.

: Orestisgotsis_2.png (14.96 KiB) Προβλήθηκε 3716 φορές

orestisgotsis · #20

Περιττό

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Re: Από παραλληλόγραμμο σε...διχοτόμο!

Μέλη σε σύνδεση