Μέτρο Μιγαδικού 2

mick7 · #1

Για ποια τιμή του μιγαδικού $\displaystyle z$ ελαχιστοποιείται η Παράσταση

$\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}$

#2

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm
Για ποια τιμή του μιγαδικού $\displaystyle z$ ελαχιστοποιείται η Παράσταση

$\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}$

Ισοδύναμα για z=x+iy

, θέλουμε το ελάχιστο της

(x^2+y^2)+[(x-3)^2+y^2]+[x^2+(y-1)^2]= (3x^2-6x+9)+(3y^2-2y+1)

.

Τα

και

είναι χωριστά, οπότε βρίσκουμε τα ελάχιστα των δύο τριωνύμων χωριστά. Το πρώτο ελαχιστοποιείται για x= 1

και το δεύτερο για y=1/3

(άμεσο). Και λοιπά.

#3

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm
Για ποια τιμή του μιγαδικού $\displaystyle z$ ελαχιστοποιείται η Παράσταση

$\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}$

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 12, 2022 3:03 pm

mick7 έγραψε: ↑
Τρί Απρ 12, 2022 1:51 pm
Για ποια τιμή του μιγαδικού $\displaystyle z$ ελαχιστοποιείται η Παράσταση

$\displaystyle \mid z\mid^{2}+\mid z-3\mid^{2}+\mid z-i\mid^{2}$
Ισοδύναμα για , θέλουμε το ελάχιστο της

.

Τα και είναι χωριστά, οπότε βρίσκουμε τα ελάχιστα των δύο τριωνύμων χωριστά. Το πρώτο ελαχιστοποιείται για και το δεύτερο για (άμεσο). Και λοιπά.

Μιχάλη καλησπέρα...

Μια άλλη θεώρηση:

Εργαζόμαστε στο σχήμα:

: Μέτρο μιγαδικού αριθμού 1.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 412 φορές

Αν

$\displaystyle{S=\left|{z} \right |^2+\left |{z-i} \right |^2+\left |{z-3} \right |^2 \ \ (1) }$

Τότε:

$\displaystyle{S =(MO)^2+(MA)^2+(MB)^2 \ (2) }$

Όμως από γνωστό θεώρημα είναι:

$\displaystyle{(MO)^2+(MA)^2+(MB)^2=3(MG)^2+\frac{1}{3}((OA)^2+(OB)^2+(AB)^2) }$

ή ακόμα:

$\displaystyle{S=3(MG)^2+\frac{1}{3}(1^2+3^2+10)=3(MG)^2+\frac{1}{3}(20)=3(MG)^2+\frac{20}{3} \ \ (4) }$

Από την τελευταία σχέση (4), η παράσταση $\displaystyle{S}$ ελαχιστοποιείται όταν το σημείο $\displaystyle{M}$ συμπέσει με το

σημείο $\displaystyle{G}$ , δηλαδή με το κέντρο βάρους του τριγώνου $\displaystyle{OAB}$ .

Όμως οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{G}$ είναι προφανώς οι

$\displaystyle{x=1, \ \ y=\frac{1}{3}}$

Άρα ο ζητούμενος μιγαδικός που ελαχιστοποιεί την παράσταση $\displaystyle{S}$ είναι ο

$\displaystyle{ z=1+\frac{1}{3}i }$

Κώστας Δόρτσιος

Μέτρο Μιγαδικού 2

Μέτρο Μιγαδικού 2

Re: Μέτρο Μιγαδικού 2

Re: Μέτρο Μιγαδικού 2

Μέλη σε σύνδεση