ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Στο παρακάτω επισυναπτόμενο υπάρχουν τα θέματα του γραπτού διαγωνισμού που έκανε η Κυπριακή Δημοκρατία για επιλογή μαθηματικών που θα εγγραφούν στον πίνακα διορισμών του 2021. Καλό είναι να τα έχουμε...
Τα θέματα έφτασαν σε εμένα από μία συνάδελφο μαθηματικό στο σχολείο η οποία γνωρίζει το ενδιαφέρον που έχω για κάτι τέτοιο. Σήμερα η μέρα ήταν πολύ πιεστική με διάφορα ζητήματα στο σχολείο, το γεγονός ότι έκατσα στο γραφείο μου και ασχολήθηκα με κάτι που είχε να κάνει με το αντικείμενό μου, ήταν κάτι που με βοήθησε να αντέξω την πίεση της ημέρας.

diorisimoi_2021_517_themata.pdf: (165.25 KiB) Μεταφορτώθηκε 150 φορές

kostas.zig · #2

Ευχαριστούμε για την ενημέρωση Τηλέμαχε! Νομίζω, θα κάνουμε κάποιοι το ίδιο με εσένα στο σχολείο μας ή και στο σπίτι.

Christos.N · #3

Για να δούμε αυτό αν είναι δυνατόν με Ευκλείδεια.

Ερώτηση 8.

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα 𝛢𝛣 και τυχαίο σημείο του 𝛤 ανάμεσα στα σημεία 𝛢 και 𝛣. Σχηματίζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα 𝛢𝛤𝛥 και 𝛤𝛣𝛦, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, σε σχέση με την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 𝛢 και 𝛣. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου 𝛭 στο οποίο τέμνονται τα ευθύγραμμα τμήματα 𝛢𝛦 και 𝛣𝛥.

STOPJOHN · #4

Christos.N έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 10, 2021 2:23 pm
Για να δούμε αυτό αν είναι δυνατόν με Ευκλείδεια.

Ερώτηση 8.

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα 𝛢𝛣 και τυχαίο σημείο του 𝛤 ανάμεσα στα σημεία 𝛢 και 𝛣. Σχηματίζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα 𝛢𝛤𝛥 και 𝛤𝛣𝛦, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, σε σχέση με την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 𝛢 και 𝛣. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου 𝛭 στο οποίο τέμνονται τα ευθύγραμμα τμήματα 𝛢𝛦 και 𝛣𝛥.

Kαλησπέρα νόμίζω οτι εχουμε συζητήσει το ίδιο θέμα παλαιότερα

τα τρίγωνα $\Delta \Gamma B,A\Gamma E$ είναι ίσα αρα

, $\hat{\Gamma \Delta B}=\omega =\hat{EA\Gamma }, \hat{\Delta BA}=60-\omega \Rightarrow \hat{AMB}=120^{0}$

Οπότε ο γεωμετρικός τόπος είναι το πράσινο τόξο

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις μου για την Ερώτηση 9.

Έστω $f,g:\left ( a,b \right )\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε $f\neq g$ .
Oρίζουμε την συνάρτηση $h\left ( x \right )=max\left \{ f\left ( x \right ),g\left ( x \right ) \right \}, x\epsilon \left ( a,b \right )$

Nα προσδιορίσετε τα σημεία του διαστήματος $\left ( a,b \right )$ στα οποία η συνάρτηση $h\left ( x \right )$ είναι παραγωγίσιμη.

Οι σκέψεις μου είναι οι εξής:

$\displaystyle h\left ( x \right )=max\left \{ f\left ( x \right ),g\left ( x \right ) \right \}=\frac{f\left ( x \right )+g\left ( x \right )+\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |}{2}$

H $f\left ( x \right )+g\left ( x \right )$ είναι σίγουρα παραγωγίσιμη στο $\left ( a,b \right )$ . To σημαντικό είναι ότι και η

συνάρτηση $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |$ είναι παραγωγίσιμη στο ίδιο διάστημα αφού $f\left ( x \right )-g\left ( x \right )\neq 0$ για κάθε $x\epsilon \left ( a,b \right )$ .

Έτσι λοιπόν η $h\left ( x \right )$ είναι παραγωγίσιμη στο $\left ( a,b \right )$ .

Edit
Παρερμήνευσα το δεδομένο $f\neq g$ . Ζητώ συγνώμη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 10, 2021 6:55 pm
Θα ήθελα να γράψω τις σκέψεις μου για την Ερώτηση 9.

Έστω $f,g:\left ( a,b \right )\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε $f\neq g$ .
Oρίζουμε την συνάρτηση $h\left ( x \right )=max\left \{ f\left ( x \right ),g\left ( x \right ) \right \}, x\epsilon \left ( a,b \right )$

Nα προσδιορίσετε τα σημεία του διαστήματος $\left ( a,b \right )$ στα οποία η συνάρτηση $h\left ( x \right )$ είναι παραγωγίσιμη.

Οι σκέψεις μου είναι οι εξής:

$\displaystyle h\left ( x \right )=max\left \{ f\left ( x \right ),g\left ( x \right ) \right \}=\frac{f\left ( x \right )+g\left ( x \right )+\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |}{2}$

H $f\left ( x \right )+g\left ( x \right )$ είναι σίγουρα παραγωγίσιμη στο $\left ( a,b \right )$ . To σημαντικό είναι ότι και η

συνάρτηση $\left | f\left ( x \right )-g\left ( x \right ) \right |$ είναι παραγωγίσιμη στο ίδιο διάστημα αφού $f\left ( x \right )-g\left ( x \right )\neq 0$ για κάθε $x\epsilon \left ( a,b \right )$ .

Έτσι λοιπόν η $h\left ( x \right )$ είναι παραγωγίσιμη στο $\left ( a,b \right )$ .

Το $f\neq g$ δεν σημαίνει ότι $f\left ( x \right )-g\left ( x \right )\neq 0$ για κάθε $x\epsilon \left ( a,b \right )$
Σημαίνει ότι υπάρχει

στο

με $f\left ( x \right )-g\left ( x \right )\neq 0$ .
Τουλάχιστον για τα κανονικά Μαθηματικά.
Δες το
viewtopic.php?f=9&t=70627

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Κατ' αρχήν οφείλω να παραδεχτώ δύο πράγματα:
1.Πρότεινα ένα θέμα που είχε συζητηθεί εδώ και δέκα μέρες. Tις τελευταίες εβδομάδες, λόγω φόρτου εργασίας στο σχολείο - είμαι υπεύθυνος Covid με ό,τι αυτό συνεπάγεται - και της δουλειάς που έχω τα απογεύματα με την απογραφή πληθυσμού, δεν παρακολουθώ το mathematica. Aν ήξερα ότι το θέμα είχε δημοσιευτεί δεν θα το πρότεινα...
2.Πάνω στη βιασύνη να γράψω τη λύση δεν είδα τι ακριβώς έγραφε το θέμα. Ο Σταύρος Παπαδόπουλος έχει δίκιο που με διόρθωσε.
Όταν έγραφα τις σκέψεις μου απαντούσα ταυτόχρονα στο τηλέφωνο σε κλήσεις πολιτών και τους βοηθούσα να αυτοαπογραφούν...
Δεν γίνονται όλα μαζί...
Είναι η δεύτερη φορά που γίνεται αυτό το τελευταίο δεκαπενθήμερο, την πρώτη φορά λίγο πριν δώσω μια αποτυχημένη απάντηση σε ένα θέμα είδα ότι κάτι δεν πήγαινε καλά. Σήμερα δεν το πρόσεξα...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #8

Ας δούμε δυο τμήματα από την ερώτηση 4.

Ξεκινάμε με την 4.4 που αφορά την ύπαρξη του $\displaystyle{ \lim_{x\to 0} }\sqrt{x^{2}\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}$

H συνάρτηση $f\left ( x \right )=\sqrt{x^{2}\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}$

oρίζεται για $x\leq -1$ ή $x\geq 1.$

Άρα το

δεν είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της.

Άρα το $\displaystyle{ \lim_{x\to 0} }\sqrt{x^{2}\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )}$ δεν ορίζεται.

Ας δούμε την 4.2 που έχει να κάνει με την ύπαρξη του $\displaystyle{\lim\limits_{n \to + \infty}x\eta \mu x$

Έστω η ακολουθία $\left ( a_{\nu } \right )$ με $a_{\nu } =2\pi \nu \rightarrow\infty$

Ισχύει φυσικά ότι

$2\pi \nu \cdot \eta \mu \left ( 2\pi \nu \right )=2\pi \nu \cdot 0=0\rightarrow 0$

Έστω η ακολουθία $\left ( \beta_{\nu } \right )$ με $\displaystyle\beta_{\nu } = 2\pi \nu +\frac{\pi }{2} \rightarrow\infty$

Ισχύει φυσικά ότι

$\displaystyle\left ( 2\pi \nu +\frac{\pi }{2} \right )\cdot \eta \mu \left (2\pi \nu +\frac{\pi }{2} \right )=\left ( 2\pi \nu +\frac{\pi }{2} \right )\cdot1=2\pi \nu +\frac{\pi }{2} \rightarrow\infty$

Συνεπώς το $\displaystyle{\lim\limits_{n \to + \infty}x\eta \mu x$ δεν υπάρχει.

Το 4.2 είναι κλασσικό θέμα της 1ης Δέσμης, τότε που το Θεώρημα της Ισοδυναμίας ήταν στην ύλη...

ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΓΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΔΙΟΡΙΣΜΩΝ- ΚΥΠΡΟΣ

Μέλη σε σύνδεση