Βρείτε τη βάση

#1

Να βρείτε σε ποιές βάσεις

ο αριθμός $N=1111_{b}$ διαιρείται με το

. (

θετικός ακέραιος)

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 04, 2021 10:02 am
Να βρείτε σε ποιές βάσεις ο αριθμός $N=1111_{b}$ διαιρείται με το . ( θετικός ακέραιος)

Για μικρούς αριθμούς ελέγχουμε με το χέρι ότι τα $b=2,\,3,\, 4$ έχουν την ιδιότητα. Τώρα, αν ο

την έχει, δηλαδή αν

διαιρεί τον b^3+b^2+b+1

, τότε την έχει και ο b+5

και αντίστροφα καθώς

(b+5)^3+(b+5)^2+(b+5)+1 = (b^3+5C) + (b^2+5D) + (b+5)+1 = (b^3+b^2+b+1)+ 5E=5F

.

Τελικά οι ζητούμενοι είναι οι $2,\,3,\,4,\, 7,\, 8,\, 9,\, ...$ , και γενικά οι $5N+2,\, 5N+3,\, 5N+4$ και μόνον αυτοί.

S.E.Louridas · #3

Θέλουμε:
$5/{b^3} + {b^2} + b + 1 \Leftrightarrow 5/\left( {b + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \Leftrightarrow 5/5\left( {b +1} \right) + \left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {b +1} \right).$
Αρκεί λοιπόν $5/\left( {b - 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {b +1} \right)$ δηλαδή $b = 5t + 2 \to 2,7,...\;{\text{\dot \eta }}\;b = 5t - 2 = 5k + 3 \to 3,8,...{\text{\dot \eta }}\;b = 5t - 1 = 5h + 4 \to 4,9,...$
Αφού βέβαια λάβαμε υπόψη ότι: ο

είναι πρώτος και ότι (b+1,b+2)=1

,

ή

,

ή

#4

Για $b \equiv 1 \bmod 5$ προφανώς $5 \nmid b^3+b^2+b+1$ .

Για $b \not \equiv 1 \bmod 5$ , από μικρό Θεώρημα Fermat, έχουμε $5 | b^3+b^2+b+1 \iff 5|b^4-1 \iff b \not \equiv 0 \bmod 5$ .

Άρα γενικά το ζητούμενο ισχύει αν και μόνο αν $b \equiv 2,3,4 \bmod 5$ .

Βρείτε τη βάση

Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Re: Βρείτε τη βάση

Μέλη σε σύνδεση