Τομή πάνω στη διχοτόμο...

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Τομή πάνω στη διχοτόμο...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Μαρ 06, 2021 8:35 pm

Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB και B\Gamma
λαμβάνουμε τα σημεία K, \Lambda που είναι τέτοια ώστε να ισχύει AK=\Gamma\Lambda.
Να αποδείξετε ότι η τομή των A\Lambda, \Gamma K ανήκει πάνω στη διχοτόμο της γωνίας A\widehat{\Delta}\Gamma.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2099
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τομή πάνω στη διχοτόμο...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Μαρ 06, 2021 9:49 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Μαρ 06, 2021 8:35 pm
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB και B\Gamma
λαμβάνουμε τα σημεία K, \Lambda που είναι τέτοια ώστε να ισχύει AK=\Gamma\Lambda.
Να αποδείξετε ότι η τομή των A\Lambda, \Gamma K ανήκει πάνω στη διχοτόμο της γωνίας A\widehat{\Delta}\Gamma.
Καλησπέρα Χρήστο

Εστω AK=\Gamma \Lambda =t,B\Lambda =b-t,KB=a-t

Στο τρίγωνο KB\Gamma με τέμνουσα AM\Lambda απο το Θ. Μενελάου είναι


\dfrac{\Gamma M}{MK}\dfrac{AK}{AB}\dfrac{B\Lambda }{\Lambda \Gamma }=1\Rightarrow \dfrac{M\Gamma

 }{MK}=\dfrac{a}{b-t},(1), KN//\Delta \Gamma \Rightarrow \dfrac{M\Gamma }{MK}=\dfrac{a}{KN},(2) ,

 (1),(2)\rightarrow KN=b-t

Οπότε

AN=t+b-t=b, \hat{N\Delta \Gamma }=\hat{AN\Delta },(3), A\Delta =AN\Rightarrow 
    \hat{A\Delta

 ADN}=\hat{AN\Delta },(4), (3),(4)\Rightarrow \hat{A\Delta N}=\hat{N\Delta \Gamma }
Συνημμένα
Τομή πάνω στη διχοτόμο......png
Τομή πάνω στη διχοτόμο......png (39.22 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τομή πάνω στη διχοτόμο...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 07, 2021 1:22 am

Στις πλευρές DA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC θεωρώ σημεία E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,G για τα οποία :

\boxed{DE = DG = LC = AK = m} .
πάνω στη διχοτόμο_2.png
πάνω στη διχοτόμο_2.png (18.31 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
Αν F η διασταύρωση των AL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CK και S η διασταύρωση των EL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KG,

προφανώς το τετράπλευρο ESGD είναι ρόμβος και άρα η DS διχοτόμος των γωνιών του στα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S .

Ας είναι ακόμα T το σημείο τομής των AL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KG.

Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι στο \vartriangle STLη SF είναι διχοτόμος . Αλλά ισχύουν ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{SL}}{{ST}} = \frac{{EL}}{{EA}} = \frac{{AB}}{{BL}} \hfill \\ 
  \frac{{FL}}{{FT}} = \frac{{LC}}{{KT}} = \frac{{AK}}{{KT}} = \frac{{AB}}{{BL}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{SL}}{{ST}} = \frac{{FL}}{{FT}}} και αυτό που θέλω το έδειξα.

Μπορεί να λυθεί και με άλλους τρόπους.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τομή πάνω στη διχοτόμο...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μαρ 07, 2021 2:09 am

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Μαρ 06, 2021 8:35 pm
Έστω ένα παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta. Πάνω στις πλευρές AB και B\Gamma
λαμβάνουμε τα σημεία K, \Lambda που είναι τέτοια ώστε να ισχύει AK=\Gamma\Lambda.
Να αποδείξετε ότι η τομή των A\Lambda, \Gamma K ανήκει πάνω στη διχοτόμο της γωνίας A\widehat{\Delta}\Gamma.
Η DM τέμνει την AB στο N και με AH//KC  \Rightarrow AK=HC=CL

Από θ.κ.δέσμης \dfrac{AZ}{ZH} = \dfrac{EM}{MC}= \dfrac{AM}{ML}   \Rightarrow ZM//HL και οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

Επειδή και οι μπλε είναι ίσες ,η \angle ADN είναι επίσης πράσινη,άρα DM διχοτόμος
τομή επί της διχοτόμου.png
τομή επί της διχοτόμου.png (17.96 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές


AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1115
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Τομή πάνω στη διχοτόμο...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Κυρ Μαρ 07, 2021 11:22 pm

Έστω a=AB, b=BC, h_1, h_2 τα αντίστοιχα ύψη, AK=CL=c και αν M είναι το σημείο τομής των AL, CK και d_1, d_2 οι αποστάσεις του από τις AB, BC αντίστοιχα, αρκεί να αποδείξουμε ότι το M ισαπέχει από τις AD, CD αντίστοιχα.
Έτσι έχουμε :
h_1-d_1=h_2-d_2\Leftrightarrow ch_1-cd_1=ch_2-cd_2\Leftrightarrow  
(ACK)-(MAK)=(ACL)-(CML) \Leftrightarrow ((MAC)=(MAC)
και έχουμε τελειώσει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης