Βρες το ξ

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Βρες το ξ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Φεβ 26, 2021 11:51 pm

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα \xi \epsilon \left ( \frac{1}{2} , 1 \right )

τέτοιο ώστε να ισχύει:

\int_{0}^{\xi}e^{x^{2}}dx=(1-\xi)e^{\xi^2}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρες το ξ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 27, 2021 11:46 am

chris_gatos έγραψε:
Παρ Φεβ 26, 2021 11:51 pm
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα \xi \epsilon \left ( \frac{1}{2} , 1 \right )

τέτοιο ώστε να ισχύει:

\int_{0}^{\xi}e^{x^{2}}dx=(1-\xi)e^{\xi^2}
Αφού \displaystyle{ (1-\xi)e^{\xi^2} = \int _0^{\xi} \left( (1-x)e^{x^2} \right )' dx +1= \int _0^{\xi} \left( 2x-x^2-1 \right )e^{x^2}  dx +1}

το αποδεικτέο γίνεται

\displaystyle{ \int _0^{\xi} \left( -2x+x^2+1 \right )e^{x^2}  dx =1}, ισοδύναμα \displaystyle{ \int _0^{\xi} \left( x^2-x+1 \right )e^{x^2}  dx =\dfrac {1}{2},\, (*)}

Επειδή για κάθε x είναι \displaystyle{ x^2-x+1 \ge \frac {3}{4} >0}, το αριστερό μέλος είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση του \xi, οπότε αν υπάρχει \xi, είναι μοναδικό.

Μένει η ύπαρξη. Στο \xi =0 το αριστερό μέλος της (*) είναι 0 και στο \xi = 1 είναι \displaystyle{\ge \int _0^{1} \frac {3}{4} \cdot 1 dx = \frac {3}{4} >\frac {1}{2} } , οπότε σίγουρα έχουμε ένα \displaystyle{\xi \in (0,1)} που δίνει την ζητούμενη ισότητα με μόνη διαφορά ότι θέλουμε καλύτερη κάτω εκτίμηση του \xi (θέλουμε 1/2 , όχι 0).

Τώρα, από την κοιλότητα της e^{x^2} στο [0,1/2] και αφού στα άκρα παίρνει τις τιμές 1 και e^{1/4} (άρα βρίσκεται κάτω από την \displaystyle{y= 2(e^{1/4} -1)x+1}) έχουμε \displaystyle{e^{x^2} \le 2(e^{1/4} -1)x+1}.

Πάμε τώρα στιν (*). Για 0\le \xi \le \frac {1}{2} θα δείξουμε 'οτι το αριστερό μέλος είναι < \dfrac {1}{2}. Πράγματι, έχουμε

\displaystyle{ \int _0^{\xi} \left( x^2-x+1 \right )e^{x^2}  dx \le \int _0^{1/2} \left( x^2-x+1 \right )e^{x^2}  dx \le \int _0^{1/2} \left( x^2-x+1 \right )\left ( 2(e^{1/4} -1)x+1\right )  dx}

\displaystyle{= \dfrac {7}{32} +\dfrac {19} {96} e^{1/4} } το οποίο θέλουμε να δείξουμε ότι είναι < \frac {1}{2}, ισοδύναμα \displaystyle{ e^{1/4} \le \dfrac {27} {19} } και άρα e\le   \dfrac {27^4} {19^4}\approx 4 (ισχύει).

Τελικά \xi > 1/2, όπως θέλαμε.

Μάλλον ξέφυγε η λύση. Σίγουρα θα υπάρχει κάτι απλούστερο για την κάτω εκτίμηση του \xi.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 250
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm

Re: Βρες το ξ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Σάβ Φεβ 27, 2021 3:01 pm

Καλησπέρα!


Βάζω μια λύση με ανάπτυγμα Taylor:

Έχω:

e^{x^2}=1+x^2+\dfrac{x^4}{2}+...+\dfrac{x^{2n}}{n!}+...

και

\int e^{x^2}dx=x+\dfrac{x^3}{3}+...+\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)(n!)}+....

Άρα,\int_{0}^{\xi }e^{x ^2}dx=\xi (1+\dfrac{\xi ^2}{3}+...+\dfrac{\xi ^{2n}}{(2n+1)(n!)}+...)=f(\xi )

και

(1-\xi )e^{\xi ^2}=(1-\xi )(1+\xi ^2+...+\dfrac{\xi ^{2n}}{n!}+...)=g(\xi ).

Παρατηρώ ότι f(1)>g(1)=0 και ότι f(\dfrac{1}{2})< g(\dfrac{1}{2}) (συγκρίνοντας τους όρους των αθροισμάτων έναν προς έναν μετά την απλοποίηση του παράγοντα \dfrac{1}{2}).

Τελικά , η συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x) έχει, από το θεώρημα Bolzano, ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού εντός του (\dfrac{1}{2},1).

Το σημείο αυτό είναι μοναδικό , διότι h'(x)=2e^{x^2}(x^2-x+1)> 0 και η h γνησίως αύξουσα.


Κώστας Σφακιανάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13464
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρες το ξ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Φεβ 27, 2021 4:04 pm

chris_gatos έγραψε:
Παρ Φεβ 26, 2021 11:51 pm
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα \xi \epsilon \left ( \frac{1}{2} , 1 \right )

τέτοιο ώστε να ισχύει:

\int_{0}^{\xi}e^{x^{2}}dx=(1-\xi)e^{\xi^2}
Πιο απλά. Θέτουμε \displaystyle{F(t)= \int_{0}^{t}e^{x^{2}}dx-(1-t)e^{t^2}} , οπότε F'(t) = 2(t^2-t+1)e^{t^2} >0 και άρα F γνήσια αύξουσα.

Είναι \displaystyle{F(1) =  \int_{0}^{1}e^{x^{2}}dx - 0 >0} και αφού η e^{x^2} είναι γνήσια αύξουσα, έχουμε

\displaystyle{F \left ( \frac {1}{2} \right ) = \int_{0}^{1/2}e^{x^{2}}dx-\frac {1}{2} e^{1/4}   <  \int_{0}^{1/2}e^{1/4}dx-\frac {1}{2} e^{1/4}  =0    }.

Άρα κάπου στο ενδιάμεσο μηδενίζεται, και μάλιστα μία φορά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2292
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Βρες το ξ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Φεβ 28, 2021 5:58 pm

Μια ακόμη λύση

\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x}e^{t^2}dt-(1-x)e^{x^2}

τότε \displaystyle{f'(x)=2e^{x^2}+2x(1-x)e^{x^2}=e^{x^2}(2x^2-2x+2)>0 ,\forall x: 1/2<x<1}

\displaystyle{f(1)>0}

oμως η \displaystyle{e^{x^2}} είναι κυρτη και από την ανίσωση Hadamar έχουμε \displaystyle{\frac{1}{\frac{1}{2}-0}\int_{0}^{1/2}e^{t^2}dt<\frac{e^0+e^{1/4}}{2}<\frac{e^{1/4}+e^{1/4}}{2}}

Αρα \displaystyle{f(1/2)<0}

οπότε απο το ΘΒ η \displaystyle{f} εχει μοναδική ρίζα στο \displaystyle{(1/2,1)} που είναι το ζητούμενο


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης