Επίλυση εκθετικής εξίσωσης

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6913
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Επίλυση εκθετικής εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Ιαν 09, 2021 7:24 pm

Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση:

4^{x}9^{\frac{1}{x}}+4^{\frac{1}{x}}9^{x}=210


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6324
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Επίλυση εκθετικής εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Ιαν 09, 2021 11:35 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Ιαν 09, 2021 7:24 pm
Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών την εξίσωση:

4^{x}9^{\frac{1}{x}}+4^{\frac{1}{x}}9^{x}=210
Για \displaystyle{x< 0} το αριστερό μέλος είναι \displaystyle{<2}.

Ας είναι τώρα \displaystyle{x>0.}

Αν είναι σωστοί οι υπολογισμοί μου, έχουμε

\displaystyle{(4^{x}9^{\frac{1}{x}}+4^{\frac{1}{x}}9^{x})''=\frac{4^{x}9^{\frac{1}{x}}\left[(x^2\ln 4-\ln 9)^2+2x\ln 9\right]+4^{\frac{1}{x}}9^{x}\left[(x^2\ln 9-\ln 4)^2+2x\ln 4\right]}{x^4}>0.}

Άρα η συνάρτηση είναι κυρτή στο \displaystyle{(0,+\infty)}. Επομένως παίρνει την τιμή 210 το πολύ δύο φορές. Αυτό συμβαίνει όταν \displaystyle{x=2 \vee x=\frac{1}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες