Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

#1

Έστω

πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$(\bigstar)$ 20x^3-15x=3

και
$(\bigstar \bigstar)$ $\,x^2+y^2=1$ .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\left | 20y^3-15y \right |$

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 8:40 pm
Έστω πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$(\bigstar)$
και
$(\bigstar \bigstar)$ $\,x^2+y^2=1$ .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\left | 20y^3-15y \right |$

Απάντηση:

Η παράσταση στο τετράγωνο ισούται

$\displaystyle{(20y^3-15y)^2=y^2(20y^2-15)^2=(1-x^2)[(20(1-x^2)-15]^2= -400x^6+600x^4-225x^2+25}$

Τώρα, όπου βλέπουμε x^3

χαμηλώνουμε τον βαθμό με χρήση της 20x^3= 15x+3

. Έτσι η προηγούμενη συνεχίζεται ως

$\displaystyle{-(20x^3)^2+30\cdot (20x^3)x -225x^2+25= -(15x+3)^2+30\cdot (15x+3)x -225x^2+25 = 16}$ (απλοποιήθηκαν όλα τα

. Και λοιπά.

#3

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 8:40 pm
Έστω πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$(\bigstar)$
και
$(\bigstar \bigstar)$ $\,x^2+y^2=1$ .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\left | 20y^3-15y \right |$

Και αλλιώς, που αιτιολογεί πιο καλά πώς έφυγαν όλοι οι όροι στο τελευταίο βήμα της προηγούμενης λύσης:

Θέτω $x=\sin \theta$ , οπότε

$3= 20x^3-15x = -5( 3\sin \theta - 4 \sin ^3 \theta )= -5 \sin 3\theta \, (*)$ .

Άρα η x^2+y^2=1

δίνει $y^2 = 1-x^2= 1-\sin ^2 \theta = \cos ^2 \theta$ , οπότε $y=\pm \cos \theta$ . Έτσι από την (*)

$\left | 20y^3-15y \right | = | \pm 5(4 \cos ^3 \theta - 3 \cos \theta ) |= |5\cos 3 \theta| = \sqrt {5^2 - 5^2\sin^2 3 \theta } = ^{(\star )} \sqrt {5^2 -3^2}=4$

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 8:40 pm
Έστω πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$(\bigstar)$
και
$(\bigstar \bigstar)$ $\,x^2+y^2=1$ .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$\left | 20y^3-15y \right |$

$\displaystyle 20{x^3} - 15x = 3 \Leftrightarrow 5x(4{x^2} - 3) = 3 \Leftrightarrow 5x(1 - 4{y^2}) = 3.$ Υψώνω στο τετράγωνο.

$\displaystyle 25(1 - {y^2}){(1 - 4{y^2})^2} = 9 \Leftrightarrow 25\left( {1 - 16{y^6} + 24{y^4} - 9{y^2}} \right) = 9 \Leftrightarrow$

$\displaystyle 25\left( {1 - {{(4{y^3} - 3y)}^2}} \right) = 9 \Leftrightarrow 25(1 + 4{y^3} - 3y)(1 - 4{y^3} + 3y) = 9 \Leftrightarrow$

$\displaystyle (5 + 20{y^3} - 15y)(5 - 20{y^3} + 15y) = 9.$ Θέτω $\boxed{20y^3-15y=t}$

$\displaystyle (5 + t)(5 - t) = 9 \Leftrightarrow |t| = 4 \Leftrightarrow$ $\boxed{|20y^3-15y|=4}$

ksofsa · #5

Καλημέρα!

Μια ακόμα λύση (με Vieta):

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρώ ότι $y\geq 0$ .

Θεωρώ f(x)=20x^3-15x

και $g(x)=\sqrt{1-x^2}$ .

Κατ' αρχάς θα δείξω ότι υπάρχει

, που να ικανοποιεί τις συνθήκες, δηλαδή f(x)=3

και $-1\leq x\leq 1$ .

Επειδή f(0)=0, f(1)=5

, η ζητούμενη ύπαρξη είναι άμεση από θεώρημα ενδιαμέσων τιμών.

Έστω, λοιπόν, ένα τέτοιο

.

Η ζητούμενη παράσταση ισούται με την απόλυτη τιμή του f(g(x))

, για τις διάφορες τιμές του

.

Έστω

.

Έστω g(x),y,z

οι 3 ρίζες του f(x)=A

.

Από Vieta:

y+z+g(x)=0

και

$yz+g(x)(y+z)=-\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow g^2(x)-yz=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow yz=\dfrac{1}{4}-x^2$

και

$yzg(x)=\dfrac{A}{20}$

Δουλεύουμε στην τελευταία σχέση:

$A^2=400(yz)^2g^2(x)=400(1-x^2)(\dfrac{1}{4}-x^2)^2=25(1-x^2)(1-4x^2)^2$

25(-16x^6+24x^4-9x^2+1)=25(-(4x^3)^2+6x(4x^3)-9x^2+1)=

$=25(-(3x+\dfrac{3}{5})^2+6x(3x+\dfrac{3}{5})-9x^2+1)=25\cdot \dfrac{16}{25}=16$

Άρα, $A^2=16\Leftrightarrow \left | A \right |=4$ .

Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Re: Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Re: Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Re: Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Re: Υπολογισμός παράστασης κάτω από...συνθήκες.

Μέλη σε σύνδεση