Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

#1

Οι πλευρές ενός τριγώνου $A B \Gamma$ είναι σε αριθμητική πρόοδο
και η μικρότερη γωνία του τριγώνου διαφέρει από τη μεγαλύτερη κατά $90^\circ$ .
Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου.
**Εννοούσα διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Συγνώμη αν κάποιοι μπερδεύτηκαν.
Ευχαριστώ την Μαρία Σαμπάνη για την υπόδειξη.

#2

Ας υποθέσουμε ότι a<b<c

και τότε $C-A=90^{\circ}$ και $b=\dfrac{a+c}{2}$ . Τότε λόγω της $A+B+C=180^{\circ}$ έχουμε $B=90^{\circ}-2A$

Από τον Ν. συνημιτόνων έχουμε: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A} \Leftrightarrow \cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \ \ (1)$

Επίσης $c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\left(90^{\circ}+A\right)} \Leftrightarrow \sin{A}=\dfrac{c^2-a^2-b^2}{2ab} \ \ (2)$

Τέλος,

$\begin{aligned}b^2=a^2+c^2-2ac\cos{\left(90^{\circ}-2A\right)} &\Leftrightarrow b^2=a^2+c^2-4ac\sin{A}\cos{A} \\ &\stackrel{(1),(2)}{\Leftrightarrow} b^2=a^2+c^2-\dfrac{(c^2-a^2)^2-b^4}{b^2} \\ &\Leftrightarrow \cancel{b^4}=a^2b^2+b^2c^2-(c^2-a^2)^2+\cancel{b^4} \\ &\Leftrightarrow b^2(a^2+c^2)=(c-a)^2(c+a)^2 \\ &\stackrel{b=\frac{a+c}{2}}{\Leftrightarrow} a^2+c^2=4(c-a)^2 \Leftrightarrow 3a^2-8ac+3c^2=0 \\ &\stackrel{x:=\frac{a}{c}, x<1}{\Leftrightarrow} 3x^2-8x+3=0 \\ &\Leftrightarrow x=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3} \Leftrightarrow a=\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}c \end{aligned}$

Έτσι $b=\dfrac{7-\sqrt{7}}{6}c$

Άρα οι λύσεις είναι οι τριάδες $(a,b,c)=\left(\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}c, \dfrac{7-\sqrt{7}}{6}c, c\right)$

Αλέξανδρος

#3

Έστω $\displaystyle \widehat A - \widehat C = 90^\circ \Rightarrow {\sin ^2}A = {\cos ^2}C$ και λόγω της προόδου 2b=a+c.

$\displaystyle {a^2} + {c^2} = 4{R^2}({\sin ^2}A + {\sin ^2}C) = 4{R^2} \Leftrightarrow {(a + c)^2} = 4{R^2} + 2ac \Leftrightarrow$ $\boxed{{b^2} = \frac{{4{R^2} + 2ac}}{4}}$ (1)

: Πλευρές σε Α.Π.png (14.03 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Αν

είναι η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου και

η προβολή του

στην

τότε

οπότε

το ACEB

είναι ισοσκελές τραπέζιο. Επίσης, $\displaystyle {a^2} - {c^2} = 2b(DM) = 2bR \Leftrightarrow (a - c)2b = 2bR \Leftrightarrow$

$\displaystyle a - c = R \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - 2ac = {R^2} \Leftrightarrow 2ac = 3{R^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{b = \frac{{R\sqrt 7 }}{2}}$

Επειδή όμως a - c = R,

η διαφορά της προόδου θα είναι $\dfrac{R}{2},$ άρα $\displaystyle c + \frac{R}{2} = b = \frac{{R\sqrt 7 }}{2} \Leftrightarrow R = \frac{c}{3}\left( {\sqrt 7 + 1} \right)$

Τέλος με αντικατάσταση βρίσκω $\boxed{(a,b,c) = \left( {\frac{c}{3}\left( {4 + \sqrt 7 } \right),\frac{c}{6}\left( {7 + \sqrt 7 } \right),c} \right)}$

STOPJOHN · #4

chris_gatos έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 04, 2020 9:22 pm
Οι πλευρές ενός τριγώνου $A B \Gamma$ είναι σε αριθμητική πρόοδο
και η μικρότερη γωνία του τριγώνου διαφέρει από τη μεγαλύτερη κατά $90^\circ$ .
Να υπολογίσετε τις πλευρές του τριγώνου.
**Εννοούσα διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Συγνώμη αν κάποιοι μπερδεύτηκαν.
Ευχαριστώ την Μαρία Σαμπάνη για την υπόδειξη.

Εστω $a> b> c,\hat{A}-\hat{C}=90^{0},2b=a+c,$

Aν $\hat{B}=2\omega ,\hat{A}=135^{0}-\omega ,\hat{C}=45^{0}-\omega ,$ και

η διχοτόμος της γωνίας

, τότε $\dfrac{AD}{c}=\dfrac{DC}{a}=\dfrac{b}{a+c}=\dfrac{1}{2},AD=\dfrac{c}{2},DC=b-\dfrac{c}{2},$ Εστω ότι $DEO\perp AC$ Τότε $\hat{BDE}=45=\hat{ADE},AD=DE=c,AE=\dfrac{c\sqrt{2}}{2},EC=2b-2c,$

Το τετράπλευρο AOCE

είναι εγράψιμο ,γιατί $\hat{ACE}=\hat{AOE}=45-\omega ,$

Από το Π.Θ $AO=\sqrt{\dfrac{c^{2}}{2}+b^{2}-bc},OC=\sqrt{2b^{2}+\dfrac{c^{2}}{2}-2bc},$

Δηλαδή το τρίγωνο BOC

είναι ισοσκελές , $BO=BC\Rightarrow 2b-c=c+\sqrt{\dfrac{c^{2}}{2}+b^{2}-bc}\Leftrightarrow 6b^{2}+7c^{2}-14b=0\Rightarrow b=c.\dfrac{7+\sqrt{7}}{6},$

και απο τη σχέση

$a=2b-c\Rightarrow a=c.\dfrac{4+\sqrt{7}}{3},a=c.\dfrac{4-\sqrt{7}}{3}$

και λόγω των περιορισμών δεκτή λύση $(a,b,c)=(c.\dfrac{4+\sqrt{7}}{3},c.\dfrac{7+\sqrt{7}}{6},c)$

Σχόλιο : Η ασκηση εχει διδακτική αξία γιατί μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας Αλγεβρα ,Τριγωνομετρία,Γεωμετρία

και οι κλάδοι των Μαθηματικών ειναι όπως τα συγκοινωνούντα δοχεία

#5

Καλησπέρα σε όλους. Ακόμα μια προσέγγιση (τριγωνομετρική πανδαισία) για το θέμα του Χρήστου.

Έστω $\displaystyle a < b < c\;\;\; \Leftrightarrow \widehat A < \widehat B < \widehat C$

Έστω $\displaystyle b = x,\;\;\;a = x - \omega ,\;\;c = x + \omega$ και $\displaystyle \left( {\widehat {\rm A} = \varphi ,\;\;\widehat C = 90^\circ + \varphi } \right) \Rightarrow \widehat {\rm B} = 90^\circ - 2\varphi ,\;\;0^\circ < \varphi < 45^\circ$

και

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του.

Τότε, από Ν. Ημιτόνων είναι

$\displaystyle \frac{{x - \omega }}{{\eta \mu \varphi }} = \frac{x}{{\eta \mu \left( {90^\circ - 2\varphi } \right)}} = \frac{{x + \omega }}{{\eta \mu \left( {90^\circ + \varphi } \right)}} = 2R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - \omega = 2R\eta \mu \varphi \;\;\left( 1 \right)\\ x = 2R\sigma \upsilon \nu 2\varphi \;\;\;\;\left( 2 \right)\\ x + \omega = 2R\sigma \upsilon \nu \varphi \;\;\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Από (1) και (3) είναι $\displaystyle x = R\left( {\eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)\;\;\;\left( 4 \right)$ , οπότε, από (4) και (2) έχουμε

$\displaystyle \eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi = 2\sigma \upsilon \nu 2\varphi \Leftrightarrow \eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi = 2\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi - \eta \mu \varphi } \right)\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi + \eta \mu \varphi } \right) \displaystyle \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi - \eta \mu \varphi = \frac{1}{2}$ (5)

Αφαιρώντας (3) – (1) έχουμε $\displaystyle 2\omega = 2R\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi - \eta \mu \varphi } \right)$ , οπότε, λόγω της (5), είναι $\displaystyle \omega = \frac{R}{2}$ (6).

Έτσι, αφαιρώντας (2)–(1) έχουμε $\displaystyle \frac{R}{2} = 2R\left( {\sigma \upsilon \nu 2\varphi - \eta \mu \varphi } \right) \Leftrightarrow 1 - 2\eta {\mu ^2}\varphi - \eta \mu \varphi = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 8\eta {\mu ^2}\varphi + 4\eta \mu \varphi - 3 = 0$ ,

που δίνει δεκτή ρίζα: $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{\sqrt 7 - 1}}{4} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }}{4} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4}$ και $\displaystyle \sigma \upsilon \nu 2\varphi = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$ .

Έτσι, $\displaystyle b = \frac{{R\sqrt 7 }}{2},\;\;a = \frac{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)R}}{2},\;\;c = \frac{{\left( {\sqrt 7 + 1} \right)R}}{2}$

Από όπου, αν θεωρήσουμε ως ελεύθερη μεταβλητή το

, είναι

$\displaystyle \left( {a,\;b,\;c} \right) = \left( {a,\;\frac{{\left( {\sqrt 7 + 7} \right)a}}{6},\;\frac{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)a}}{3}} \right)$

#6

Καλησπέρα και ευχαριστώ πολύ για την πληθώρα λύσεων!
Ο στόχος μου είναι πάντα αυτός που γράφει ο Γιάννης παραπάνω ως σχόλιο.

STOPJOHN έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 06, 2020 2:38 pm
Σχόλιο : Η ασκηση εχει διδακτική αξία γιατί μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας Αλγεβρα ,Τριγωνομετρία,Γεωμετρία

και οι κλάδοι των Μαθηματικών ειναι όπως τα συγκοινωνούντα δοχεία

Όσες περισσότερες και διαφορετικές λύσεις δούμε, τόσο καλύτερα.
Καλή συνέχεια.

Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Re: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Re: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Re: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Re: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Re: Πλευρές τριγώνου σε αριθμητική πρόοδο

Μέλη σε σύνδεση