Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

#1

Έστω παραλληλόγραμμο ABCD

.
Από το

φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά

στο

και την προέκταση της

στο

.
Από το

φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά

στο

και την προέκταση της

στο

.
1) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο PQRS

είναι παραλληλόγραμμο ή τραπέζιο.
2) Να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιοι του PQRS

τέμνονται επί της

.

#2

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:47 am
Έστω παραλληλόγραμμο .
Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο .
Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο .
1) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ή τραπέζιο.
2) Να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιοι του τέμνονται επί της .

: Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο.png (35 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Καλησπέρα Νίκο

1) Αν $\displaystyle{F \equiv SP \cap AB}$ τότε από το Θεώρημα της Κεντρικής Δέσμης $\displaystyle{S.AFR}$ με $\displaystyle{AFR\parallel DPC}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\dfrac{{AF}}{{FR}} = \dfrac{{DP}}{{PC}}\mathop = \limits^{AD\parallel CQ} \dfrac{{AP}}{{PQ}}\mathop = \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta \,\sigma \tau o\,\vartriangle ARQ} }$ $\displaystyle{\dfrac{{FP}}{{RQ}} \Rightarrow SP\parallel RQ \Rightarrow PQRS}$ τραπέζιο ή παραλληλόγραμμο .

2) Έστω $\displaystyle{T \equiv PR \cap BD}$ τότε από $\displaystyle{BR\parallel DP \Rightarrow \dfrac{{DT}}{{TB}} = \dfrac{{DP}}{{RB}}:\left( 1 \right)}$
Από $\displaystyle{PD\parallel RB,SP\parallel QR,DS\parallel BQ}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\vartriangle PDS \sim \vartriangle RBQ}$ είναι όμοια και συνεπώς $\displaystyle{\dfrac{{DP}}{{RB}} = \dfrac{{DS}}{{BQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} = \dfrac{{DS}}{{BQ}} = \dfrac{{DT}}{{BQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{SD\parallel BQ} T \in SQ}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Στάθης

Υ.Σ. Παρότι κατάφερα το θέμα (για τον ΑΣΕΠ)

δεν πρόκειται να δώσω στον ΑΣΕΠ για διορισμό. Είμαι ήδη συνταξιούχος

#3

Στάθη, είσαι στην ιδανική ηλικία(στην 3η νεότητα) για γεωμετρία και ωραίες εμπνεύσεις !

Υπέροχη λύση !
Μισή ώρα που την προσπάθησα δεν κατάφερα τίποτα. Δίσταζα να βάλω και άλλο σημείο.

Αυτό που σκέφτηκα ήταν να την αποδείξω σε τετράγωνο , σύμφωνα με ένα θεώρημα της συσχετισμένης γεωμετρίας, αλλά και αυτό το παράτησα γιατί έπρεπε να βγω.

Να είσαι γερός, καλό βράδυ και να περνάς καλά !

ΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧΧ

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 3:48 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:47 am
Έστω παραλληλόγραμμο .
Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο .
Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο .
1) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ή τραπέζιο.
2) Να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιοι του τέμνονται επί της .
Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο.png
Καλησπέρα Νίκο

1) Αν $\displaystyle{F \equiv SP \cap AB}$ τότε από το Θεώρημα της Κεντρικής Δέσμης $\displaystyle{S.AFR}$ με $\displaystyle{AFR\parallel DPC}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\dfrac{{AF}}{{FR}} = \dfrac{{DP}}{{PC}}\mathop = \limits^{AD\parallel CQ} \dfrac{{AP}}{{PQ}}\mathop = \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta \,\sigma \tau o\,\vartriangle ARQ} }$ $\displaystyle{\dfrac{{FP}}{{RQ}} \Rightarrow SP\parallel RQ \Rightarrow PQRS}$ τραπέζιο ή παραλληλόγραμμο .

2) Έστω $\displaystyle{T \equiv PR \cap BD}$ τότε από $\displaystyle{BR\parallel DP \Rightarrow \dfrac{{DT}}{{TB}} = \dfrac{{DP}}{{RB}}:\left( 1 \right)}$
Από $\displaystyle{PD\parallel RB,SP\parallel QR,DS\parallel BQ}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\vartriangle PDS \sim \vartriangle RBQ}$ είναι όμοια και συνεπώς $\displaystyle{\dfrac{{DP}}{{RB}} = \dfrac{{DS}}{{BQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} = \dfrac{{DS}}{{BQ}} = \dfrac{{DT}}{{BQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{SD\parallel BQ} T \in SQ}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Στάθης

Υ.Σ. Παρότι κατάφερα το θέμα (για τον ΑΣΕΠ) δεν πρόκειται να δώσω στον ΑΣΕΠ για διορισμό. Είμαι ήδη συνταξιούχος

Στάθη χαιρετώ.
Ευχαριστώ για την απάντηση.
Και η δική μου λύση είναι όμοια, με αναλογίες. Δεν σκέφτηκα κάποια λύση χωρίς αυτές.
Το πρώτο ερώτημα είναι η άσκηση 502 της ωραίας συλλογής
V. Gusev, V. Litvinenko, A. Mordkovich Solving Problems in Geometry, MIR, 1988
που υπάρχει και σε ηλεκτρονική μορφή εδώ: https://archive.org/details/GusevLitivi ... tryMir1988
Το δεύτερο ερώτημα το προσέθεσα εγώ.
ΥΓ. Και εγώ δεν ετοιμάζομαι για διαγωνισμό του ΑΣΕΠ.

Αφυπηρέτησα των Σεπτέμβριο.

#5

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 9:31 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 3:48 pm

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 26, 2020 2:47 am
Έστω παραλληλόγραμμο .
Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο .
Από το φέρνουμε ευθεία που τέμνει την πλευρά στο και την προέκταση της στο .
1) Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο ή τραπέζιο.
2) Να αποδειχθεί ότι οι διαγώνιοι του τέμνονται επί της .
Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο.png
Καλησπέρα Νίκο

1) Αν $\displaystyle{F \equiv SP \cap AB}$ τότε από το Θεώρημα της Κεντρικής Δέσμης $\displaystyle{S.AFR}$ με $\displaystyle{AFR\parallel DPC}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\dfrac{{AF}}{{FR}} = \dfrac{{DP}}{{PC}}\mathop = \limits^{AD\parallel CQ} \dfrac{{AP}}{{PQ}}\mathop = \limits^{\alpha \nu \tau \iota \sigma \tau \rho o\varphi o\,\Theta .\Theta \alpha \lambda \eta \,\sigma \tau o\,\vartriangle ARQ} }$ $\displaystyle{\dfrac{{FP}}{{RQ}} \Rightarrow SP\parallel RQ \Rightarrow PQRS}$ τραπέζιο ή παραλληλόγραμμο .

2) Έστω $\displaystyle{T \equiv PR \cap BD}$ τότε από $\displaystyle{BR\parallel DP \Rightarrow \dfrac{{DT}}{{TB}} = \dfrac{{DP}}{{RB}}:\left( 1 \right)}$
Από $\displaystyle{PD\parallel RB,SP\parallel QR,DS\parallel BQ}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\vartriangle PDS \sim \vartriangle RBQ}$ είναι όμοια και συνεπώς $\displaystyle{\dfrac{{DP}}{{RB}} = \dfrac{{DS}}{{BQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} = \dfrac{{DS}}{{BQ}} = \dfrac{{DT}}{{BQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{SD\parallel BQ} T \in SQ}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

Στάθης

Υ.Σ. Παρότι κατάφερα το θέμα (για τον ΑΣΕΠ) δεν πρόκειται να δώσω στον ΑΣΕΠ για διορισμό. Είμαι ήδη συνταξιούχος

Στάθη χαιρετώ.
Ευχαριστώ για την απάντηση.
Και η δική μου λύση είναι όμοια, με αναλογίες. Δεν σκέφτηκα κάποια λύση χωρίς αυτές.
Το πρώτο ερώτημα είναι η άσκηση 502 της ωραίας συλλογής
V. Gusev, V. Litvinenko, A. Mordkovich Solving Problems in Geometry, MIR, 1988
που υπάρχει και σε ηλεκτρονική μορφή εδώ: https://archive.org/details/GusevLitivi ... tryMir1988
Το δεύτερο ερώτημα το προσέθεσα εγώ.
ΥΓ. Και εγώ δεν ετοιμάζομαι για διαγωνισμό του ΑΣΕΠ. Αφυπηρέτησα των Σεπτέμβριο.

Βέβαια για το δικό σου ερώτημα Νίκο μπορούμε να πούμε για τα όμοια τρίγωνα που αναφέρω με παράλληλες πλευρές ότι η ζητούμενη σύγκλιση προκύπτει απο το κέντρο ομοιοθεσιας τους η ακόμα και απο το θεώρημα του Desarque θεωρώντας την συνευθειακότητα των στο κατ' εκδοχή άπειρο σημείο τομής των παράλληλων πλευρών τους με συνέπεια την προοπτικοτητά τους , αλλά όπως και νάχει το πράγμα η πρώτη μου λύση είναι πιο στοιχειώδης και φυσικά πιο ελληνική ( Θαλής γαρ)

Να είσαι πάντα καλά και πάντα στις επάλξεις

Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

Re: Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

Re: Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

Re: Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

Re: Παραλληλόγραμμο ή Τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση