Παραβολή εφαπτόμενη τριών ευθειών

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4308
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Παραβολή εφαπτόμενη τριών ευθειών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Σάβ Οκτ 17, 2020 2:20 am

Να βρεθεί παραβολή y=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma που να εφάπτεται σε τρείς δεδομένες ευθείες y=p_{i}x+q_{i}, i=1,2,3.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11772
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Παραβολή εφαπτόμενη τριών ευθειών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Οκτ 17, 2020 10:36 am

Παραβολή εφαπτομένη τριών ευθειών.png
Παραβολή εφαπτομένη τριών ευθειών.png (19.47 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
Ας δούμε μια σκέψη με ένα παράδειγμα . Οι τρεις ευθείες δεν μπορεί να είναι παράλληλες ούτε ανά δύο ( γιατί ; ) .

Ας είναι λοιπόν οι : y=-3x+1 , y=x-5 , y=7x+21.5 . Εύκολα βρίσκουμε τα σημεία τομής τους ,

π.χ το S(\dfrac{3}{2} ,-\dfrac{7}{2}) . Τώρα οι εφαπτόμενες από το S προς την παραβολή , εφάπτονται στα σημεία K ,L . Αυτό

μας δίνει σχέση μεταξύ των a,b,c . Όμοια εργαζόμαστε για τα T , P και από το προκύπτον 3\times 3 σύστημα

παίρνουμε τους συντελεστές a , b , c , , που στο παράδειγμά μας , δίνουν την παραβολή : f(x)=2x^2-7x+3 .


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4308
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Παραβολή εφαπτόμενη τριών ευθειών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Οκτ 19, 2020 2:30 am

Γειά σας

Θανάση ευχαριστώ για το αριθμητικό παράδειγμα και την γραφική παράσταση.

Γράφω, με κάποιες συντομεύσεις, την προσέγγιση που είχα κατά νου.
Η τυχούσα εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f\left( x\right) =\alpha x^{2}+\beta x+\gamma είναι
y=\allowbreak \left( 2\alpha x_{0}+\beta \right) x-\alpha x_{0}^{2}+\gamma \,\,\,\,(*).
Ας ονομάσουμε άριν απλότητας p και q το ζεύγος των p_i, q_i.
H y=px+q είναι εφαπτομένη αν και μόνο αν συμπίπτει με κάποια (*) δηλαδή όταν για κάποιο x_0 ισχύει:
2\alpha x_{0}+\beta =p, -\alpha x_{0}^{2}+\gamma =q.
Με \alpha  \neq 0 θα είναι από την πρώτη σχέση x_{0}=\frac{p-\beta }{2\alpha } οπότε αντικαθιστώντας στην δεύτερη θα είναι
τελικά:
-\beta ^{2}+2\beta p-p^{2}+4\gamma \alpha -4q\alpha =0.
Εφαρμόζοντας τα παραπάνω στις τρεις ευθείες έχουμε να λύσουμε το σύστημα με αγνώστους \alpha ,\beta ,\gamma :
\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{ - {\beta ^2} + 2\beta {p_1} - p_1^2 + 4\gamma \alpha  - 4{q_1}\alpha  = 0}\\ 
{ - {\beta ^2} + 2\beta {p_2} - p_2^2 + 4\gamma \alpha  - 4{q_2}\alpha  = 0}\\ 
{ - {\beta ^2} + 2\beta {p_3} - p_3^2 + 4\gamma \alpha  - 4{q_3}\alpha  = 0} 
\end{array}} \right\}
όπου δεκτές είναι λύσεις με \alpha \neq 0.
Αν βρεθούν τα \alpha ,\beta βρίσκεται και ο \gamma και
Αφαιρώντας από την τρίτη εξίσωση τις δύο πρώτες καταλήγουμε στο σύστημα με αγνώστους \alpha ,\beta :
\displaystyle \left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{2\left( {{p_3} - {p_2}} \right)\beta  - 4\left( {{q_3} - {q_2}} \right)\alpha  = \left( {p_3^2 - p_2^2} \right)}\\ 
{2\left( {{p_3} - {p_1}} \right)\beta  - 4\left( {{q_3} - {q_1}} \right)\alpha  = \left( {p_3^2 - p_1^2} \right)} 
\end{array}} \right\}\,\,\,\,(\Sigma )
Η ορίζουσα του συστήματος (\Sigma ) είναι ίση με
\displaystyle  - 8\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{p_3} - {p_2}}&{{q_3} - {q_2}}\\ 
{{p_3} - {p_1}}&{{q_3} - {q_1}} 
\end{array}} \right| = 8\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{p_1}}&{{q_1}}&1\\ 
{{p_2}}&{{q_2}}&1\\ 
{{p_3}}&{{q_3}}&1 
\end{array}} \right|
Α) Αν
\displaystyle D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{p_1}}&{{q_1}}&1\\ 
{{p_2}}&{{q_2}}&1\\ 
{{p_3}}&{{q_3}}&1 
\end{array}} \right| \ne 0
τότε το (\Sigma ) έχει μία μόνο λύση (\beta, \alpha). Τότε όπως εύκολα διαπιστώνεται από εξέταση των οριζουσών του (\Sigma ) είναι
\alpha \neq 0 αν και μόνο αν \left( p_{1}-p_{2}\right) \left( p_{2}-p_{3}\right) \left( p_{3}-p_{1}\right) \neq 0 δηλαδή τα p_{1},p_{2},p_{3} είναι ανά δύο διάφορα. Στην περίπτωση που αυτό συμβαίνει έχουμε μία λύση δηλαδή μία παραβολή.
Β) Αν είναι D=0 και τα p_{1},p_{2},p_{3} είναι ανά δύο διάφορα τότε οι τρεις ευθείες y=p_{i}x+q_{i} είναι διακεκριμένες και συντρέχουν. Γεωμετρικά αντιλαμβανόμαστε ότι δεν έχουμε λύση κατι που προκύπτει και αλγεβρικά αφού η ορίζουσαD_{\alpha} του \alpha στο (\Sigma ) είναι διάφορη του μηδενός.
Γ) Αν είναι D=0 και δύο από τα p_{1},p_{2},p_{3} συμπίπτουν, ας πούμε ότι p_{1}=p_{2} τότε από την εξέταση της D συμπεραίνουμε ότι ή
α) p_{1}=p_{2}=p_{3} ή ότι
β) p_{1}=p_{2} \neq p_{3} και q_{1}=q_{2}.
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ότι αν είναι και q_{1}=q_{2}=q_{3} δηλαδή οι τρεις ευθείες συμπίπτουν τότε έχουμε άπειρες λύσεις ενώ αν δεν είνα όλα τα q_i ίσα δηλαδή έχουμε δύο ή περισσότερες παράλλης και καμμία λύση.
Στην δεύτερη ότι η οι δύο ευθείες συμπίτουν η τρίτη είναι διαφορετική και άπειρες λύσεις.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3234
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραβολή εφαπτόμενη τριών ευθειών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 20, 2020 7:56 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Σάβ Οκτ 17, 2020 2:20 am
Να βρεθεί παραβολή y=\alpο a x^{2}+\beta x+\gamma που να εφάπτεται σε τρείς δεδομένες ευθείες y=p_{i}x+q_{i}, i=1,2,3.
Νίκο χαιρετώ.
Ασχολήθηκα με το πρόβλημα το Σάββατο.
Η πρώτη μου προσέγγιση ήταν να κάνω αλλαγή συντεταγμένων ώστε οι δύο ευθείες να περνάνε από το
(0,0).
Οδηγεί περίπου στην ίδια προσέγγιση με την δική σου.

Μετά έκανα την εξής προσέγγιση.
Αν θεωρήσουμε το πρόβλημα λυμένο τότε με αλλαγές στις συντεταγμένες
μπορούμε να θεωρήσουμε ότι f(x)=ax^2
Τότε οι ευθείες θα έχουν την μορφή
y=p_{i}x+q_{i} με
\frac{p_{i}^{2}}{q_{i}}=-4a
Μετά θα πρέπει να βρούμε το σύστημα πού οι αρχικές ευθείες μπορούν να έρθουν
στην παραπάνω μορφή.
Πράγματι αυτό γίνεται και μπορεί έτσι να λυθεί το πρόβλημα.
Θεωρώ ότι είναι ένα ωραίο πρόβλημα.
Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί και για τις άλλες κωνικές τομές.


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4308
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Παραβολή εφαπτόμενη τριών ευθειών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Τετ Οκτ 21, 2020 11:21 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Οκτ 20, 2020 7:56 pm
nsmavrogiannis έγραψε:
Σάβ Οκτ 17, 2020 2:20 am
Να βρεθεί παραβολή y=\alpο a x^{2}+\beta x+\gamma που να εφάπτεται σε τρείς δεδομένες ευθείες y=p_{i}x+q_{i}, i=1,2,3.
...
Μετά έκανα την εξής προσέγγιση.
Αν θεωρήσουμε το πρόβλημα λυμένο τότε με αλλαγές στις συντεταγμένες
μπορούμε να θεωρήσουμε ότι f(x)=ax^2
Τότε οι ευθείες θα έχουν την μορφή
y=p_{i}x+q_{i} με
\frac{p_{i}^{2}}{q_{i}}=-4a
Μετά θα πρέπει να βρούμε το σύστημα πού οι αρχικές ευθείες μπορούν να έρθουν
στην παραπάνω μορφή.
Πράγματι αυτό γίνεται και μπορεί έτσι να λυθεί το πρόβλημα.
Θεωρώ ότι είναι ένα ωραίο πρόβλημα.
Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί και για τις άλλες κωνικές τομές.
Σταύρο χαιρετώ.
Δοκίμασα, όχι λεπτομερειακά, την προσέγγιση που αναφέρεις και βρίσκω ότι δεν γλυτώνουμε το υπολογιστικό φορτίο.

Όσον αφορά την γενίκευση για τυχούσα κωνική θεωρητικά μπορούμε να πάρουμε την γενική εξίσωση της κωνικής (6 συντελεστές) και να γράψουμε την συνθήκη επαφής για κάθε ευθεία (που είναι αρκετά πολύπλοκη) οπότε θα έχουμε 3 εξισώσεις. 'Εχουμε ελεύθερους αγνώστους πράγμα λογικό αφού δεν έχουμε προσδιορίσει το είδος της κωνικής.
Αν λ.χ. η κωνική που ζητάμε είναι η
ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0
οι συνθήκες επαφής (χρησιμοποίησα έτοιμο τον τύπο που υπάρχει στο βιβλίο του Loney The Elements of Coordiante Geometry (παράγραφος 374) είναι:
p_{i}^{2}\left( bc-f^{2}\right) +\left( ca-g^{2}\right) +q_{i}^{2}\left( ab-h^{2}\right) -2q_{i}(gh-af)+2p_{i}q_{i}(hf-bg)-2p_{i}\left( fg-ch\right) =0
για i=1,2,3.
Δεν ξέρω αν υπάρχει κάποιος συντομότερος δρόμος.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης