Μια συναρτησιακή.

#1

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες:
$\bigstar f(1)=1$

$\bigstar f(x+y)=f(x)+f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$

$\bigstar f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}}f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^{\ast }$

Να αποδείξετε ότι f(x)=x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Τσιαλας Νικολαος · #2

Κυριε Χρήστο καλησπέρα! Έχει κολλήσει το μυαλό μου και δεν είμαι σίγουρος για αυτό που θα πω... Αλλά η σχέση 2 δεν είναι συναρτησιακή του Cauchy και έχει αποδειχτεί ότι είναι η f(x) =cx

;

#3

Νίκο αυτό που λες θα ίσχυε αν η

είχε καποιες επιπλέον ιδιότητες π.χ συνεχής, φραγμένη κτλ. Αρχικά δεν υπάρχει κάτι τέτοιο.

DrStrange · #4

Mmmm. Μια λύση εμπνευσμένη από τα χιντ του κυρίου νικου. Προφανώς στο

μηδενίζεται και ειναι περιτηΓια

όχι

και οχαiο

. Είναι: $f(\dfrac{1}{x(x+1)})+f(\dfrac{1}{x+1})= f(\dfrac{1}{x})$ . Από την τρίτη προκύπτει με πράξεις που τελικά ισχύει και γενικά λόγω της περιττοτητας: f(x^2)=2xf(x)-x^2

. Βάζοντας αντι για Χ , Χ+ υ έχω μετά από πράξεις f(xy)+xy = yf(x)+xf(y)

. Βάλτε παρακαλώ αντί για Υ το 1/Χ και πάρτε ότι f(x)=x

. Dooone
Edit: typo, ευχαριστώ τον γάτο για την εποικοδομητική κριτική

#5

DrStrange έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 05, 2020 12:28 am
Dooone

I don't think so.

Ορέστης Λιγνός · #6

chris_gatos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 04, 2020 10:32 pm
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$
η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες:
$\bigstar f(1)=1$

$\bigstar f(x+y)=f(x)+f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$

$\bigstar f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}}f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^{\ast }$

Να αποδείξετε ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Καλημέρα σε όλους.

Είναι, $f(\dfrac{1}{x+1})=\dfrac{f(x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{f(x)+1}{(x+1)^2}$ , για κάθε $x \neq -1$ .
Επίσης, $f(\dfrac{1}{x+1})=f(1)-f(\dfrac{x}{x+1})=1-\dfrac{f(1+\dfrac{1}{x})x^2}{(x+1)^2}=1-\dfrac{(1+f(\dfrac{1}{x}))x^2}{(x+1)^2}=1-\dfrac{x^2+f(x)}{(x+1)^2}$ , για κάθε $x \neq -1$ .

Άρα, $\dfrac{f(x)+1}{(x+1)^2}=1-\dfrac{x^2+f(x)}{(x+1)^2} \Rightarrow 2f(x)+x^2+1=(x+1)^2 \Rightarrow f(x)=x$ , για κάθε $x \neq -1$ .
Τέλος, από την f(x+y)=f(x)+f(y)

για

έχουμε ότι f(0)=0

, και για

, προκύπτει ότι f(1)+f(-1)=0

, άρα

.
Τελικά, f(x)=x

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , που προφανώς επαληθεύει.

Μια συναρτησιακή.

Μια συναρτησιακή.

Re: Μια συναρτησιακή.

Re: Μια συναρτησιακή.

Re: Μια συναρτησιακή.

Re: Μια συναρτησιακή.

Re: Μια συναρτησιακή.

Μέλη σε σύνδεση