Μια συναρτησιακή.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Μια συναρτησιακή.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Αύγ 04, 2020 10:32 pm

Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}
η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες:
\bigstar f(1)=1

\bigstar f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x, y \in \mathbb{R}

\bigstar f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}}f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}^{\ast }

Να αποδείξετε ότι f(x)=x για κάθε x \in \mathbb{R}


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 469
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μια συναρτησιακή.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Αύγ 04, 2020 11:16 pm

Κυριε Χρήστο καλησπέρα! Έχει κολλήσει το μυαλό μου και δεν είμαι σίγουρος για αυτό που θα πω... Αλλά η σχέση 2 δεν είναι συναρτησιακή του Cauchy και έχει αποδειχτεί ότι είναι η f(x) =cx ;


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μια συναρτησιακή.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τρί Αύγ 04, 2020 11:28 pm

Νίκο αυτό που λες θα ίσχυε αν η f είχε καποιες επιπλέον ιδιότητες π.χ συνεχής, φραγμένη κτλ. Αρχικά δεν υπάρχει κάτι τέτοιο.


Χρήστος Κυριαζής
DrStrange
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Μάιος 08, 2019 8:30 pm

Re: Μια συναρτησιακή.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από DrStrange » Τετ Αύγ 05, 2020 12:28 am

Mmmm. Μια λύση εμπνευσμένη από τα χιντ του κυρίου νικου. Προφανώς στο 0 μηδενίζεται και ειναι περιτηΓια x όχι 0 και οχαiο -1. Είναι: f(\dfrac{1}{x(x+1)})+f(\dfrac{1}{x+1})= f(\dfrac{1}{x}). Από την τρίτη προκύπτει με πράξεις που τελικά ισχύει και γενικά λόγω της περιττοτητας: f(x^2)=2xf(x)-x^2. Βάζοντας αντι για Χ , Χ+ υ έχω μετά από πράξεις f(xy)+xy = yf(x)+xf(y). Βάλτε παρακαλώ αντί για Υ το 1/Χ και πάρτε ότι f(x)=x. Dooone
Edit: typo, ευχαριστώ τον γάτο για την εποικοδομητική κριτική
τελευταία επεξεργασία από DrStrange σε Τετ Αύγ 05, 2020 9:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6885
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Μια συναρτησιακή.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Αύγ 05, 2020 1:03 am

DrStrange έγραψε:
Τετ Αύγ 05, 2020 12:28 am
Dooone
I don't think so.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μια συναρτησιακή.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Αύγ 05, 2020 9:25 am

chris_gatos έγραψε:
Τρί Αύγ 04, 2020 10:32 pm
Έστω η συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}
η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες:
\bigstar f(1)=1

\bigstar f(x+y)=f(x)+f(y) για κάθε x, y \in \mathbb{R}

\bigstar f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}}f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}^{\ast }

Να αποδείξετε ότι f(x)=x για κάθε x \in \mathbb{R}
Καλημέρα σε όλους.

Είναι, f(\dfrac{1}{x+1})=\dfrac{f(x+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{f(x)+1}{(x+1)^2}, για κάθε x \neq -1.
Επίσης, f(\dfrac{1}{x+1})=f(1)-f(\dfrac{x}{x+1})=1-\dfrac{f(1+\dfrac{1}{x})x^2}{(x+1)^2}=1-\dfrac{(1+f(\dfrac{1}{x}))x^2}{(x+1)^2}=1-\dfrac{x^2+f(x)}{(x+1)^2}, για κάθε x \neq -1.

Άρα, \dfrac{f(x)+1}{(x+1)^2}=1-\dfrac{x^2+f(x)}{(x+1)^2} \Rightarrow 2f(x)+x^2+1=(x+1)^2 \Rightarrow f(x)=x, για κάθε x \neq -1.
Τέλος, από την f(x+y)=f(x)+f(y) για x=y=0 έχουμε ότι f(0)=0, και για x=1,y=-1, προκύπτει ότι f(1)+f(-1)=0, άρα f(-1)=-1.
Τελικά, f(x)=x για κάθε x \in \mathbb{R}, που προφανώς επαληθεύει.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης