Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6879
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm

Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma (\hat{A}=90^\circ)
το ύψος A\Delta, το μέσο E του \Gamma\Delta και
σημείο Z στην προέκταση του AB, ώστε BZ=BA.
Να αποδείξετε ότι Z\Delta, AEκάθετα.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12186
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 11, 2020 11:01 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm
Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma (\hat{A}=90^\circ)
το ύψος A\Delta, το μέσο E του \Gamma\Delta και
σημείο Z στην προέκταση του AB, ώστε BZ=BA.
Να αποδείξετε ότι Z\Delta, AEκάθετα.
Με Αναλυτική είναι εύκολη: Αρχή των αξόνων το A και B(b,0),\,C(0,c) οπότε Z(2b,0). To D το βρίσκουμε από την τομή των

\displaystyle{BC: \, y= -\dfrac {c}{b} (x-b)} και AD: \, y=\dfrac {b}{c}x.

Θα βρούμε \displaystyle{D\left ( \dfrac { bc^2}{b^2+c^2} , \dfrac { b^2c}{b^2+c^2}\right ) } και άρα \displaystyle{E \left ( \dfrac { bc^2}{2(b^2+c^2) }, \dfrac { c(2b^2+c^2)}{2(b^2+c^2) }\right )}.

Οι κλίσεις των ZD,\, AE είναι τώρα άμεσες, και εύκολα ελέγχουμε την ζητούμενη καθετότητα (δεν το έκανα, αλλά είναι χωρίς δυσκολία).


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1886
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Απρ 11, 2020 11:29 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm
Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma (\hat{A}=90^\circ)
το ύψος A\Delta, το μέσο E του \Gamma\Delta και
σημείο Z στην προέκταση του AB, ώστε BZ=BA.
Να αποδείξετε ότι Z\Delta, AEκάθετα.
Καλησπέρα

Θα αποδείξω ότι το σημείο \Delta είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου

ASZ

Το A\Gamma \Sigma \Delta είναι παραλληλόγραμμο αρα


\Delta \Sigma //A\Gamma,
\Delta B//\Sigma Z



Ακόμη \Gamma \Sigma //A\Delta Λ,\Gamma \Sigma \perp B\Gamma ,A\Lambda \perp \Sigma Z Οπότε το σημείο \Delta είναι ορθόκεντρο του A\Sigma Z
Συνημμένα
Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.png
Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.png (54.21 KiB) Προβλήθηκε 406 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Απρ 11, 2020 11:58 pm

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm
Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma (\hat{A}=90^\circ)
το ύψος A\Delta, το μέσο E του \Gamma\Delta και
σημείο Z στην προέκταση του AB, ώστε BZ=BA.
Να αποδείξετε ότι Z\Delta, AEκάθετα.
Μια ακόμη
300.PNG
300.PNG (21.67 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές
Έστω \rm M μέσο του \rm CZ.Οπότε αφού \rm ZD\parallel EM αρκεί \angle  MEA=90^{\circ} δηλαδή αρκεί \rm BMEA εγγράψιμο.Αρκεί δηλαδή \rm \angle BEA=\angle BMA=\angle MAC=\angle MCA.
Όμως \rm \dfrac{AZ}{AC}=2\dfrac{AB}{AC}=2\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AD}{DE} και το ζητούμενο έπεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 12, 2020 12:36 am

chris_gatos έγραψε:
Σάβ Απρ 11, 2020 10:36 pm
Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma (\hat{A}=90^\circ)
το ύψος A\Delta, το μέσο E του \Gamma\Delta και
σημείο Z στην προέκταση του AB, ώστε BZ=BA.
Να αποδείξετε ότι Z\Delta, AEκάθετα.
Με M μέσον της AD \Rightarrow EM \| CA \Rightarrow EM \bot AB \Rightarrow M ορθόκεντρο του \triangle EAB

Άρα BM \bot AE \Rightarrow ZD \bot AE (Αφού ZD//BM)
Καθετότητα.png
Καθετότητα.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 377 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11614
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 12, 2020 10:58 am

ΑΣΕΠ.png
ΑΣΕΠ.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές
"Περάσατε" το Α.Σ.Ε.Π αλλά θέλουμε και κάτι παραπάνω ! Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AT}{TE}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1824
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 12, 2020 3:11 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Απρ 12, 2020 10:58 am
ΑΣΕΠ.png "Περάσατε" το Α.Σ.Ε.Π αλλά θέλουμε και κάτι παραπάνω ! Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AT}{TE}
\dfrac{AT}{TE}= \dfrac{AD^2}{ED^2}= 4(\dfrac{AD}{CD})^2=4tan^2C =4 \dfrac{b^2}{a^2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1258
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Συνθέτοντας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Απρ 12, 2020 6:20 pm

Για την Καλησπέρα, μια ακόμη στο αρχικό πρόβλημα.
Συνθέτοντας...PNG
Συνθέτοντας...PNG (16.39 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές
Θεωρούμε τον περίκυκλο του τριγώνου CAZ (διαμέτρου ZC ) με τις CB,ZD να τον τέμνουν στα H και Q.

Τα ορθ. τρίγωνα BAD,BHZείναι ίσα και το DAHZ παραλληλόγραμμο.

Έτσι γωνίες y+x=y+\omega  \Rightarrow x=\omega οπότε AQ=HZ=AD.


Αν M το μέσον της QD τότε AM \perp  ZDQ και AM \parallel CQ , άρα η AM περνάει και από το μέσον E της CD.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες