ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

#1

Έστω το πολυώνυμο $P(x)=\alpha x^3-\beta x^2 + \gamma x-\delta$
όπου $\alpha, \beta, \gamma, \delta \epsilon \mathbb{R}$ με $\alpha, \gamma>0, \delta \ne0$
και $\frac{\beta}{\alpha}<\frac{\delta}{\gamma}$ .
Να δείξετε ότι για κάθε πραγματική ρίζα $\rho$ του πολυωνύμου P(x)

ισχύει ότι:
$\frac{\beta}{\alpha}<\rho<\frac{\delta}{\gamma}$

#2

Γράφουμε το πολυώνυμο στη μορφή $P(x)=ax^2(x-\dfrac{\beta}{a})+\gamma(x-\dfrac{\delta}{\gamma}).$

$\bullet$ Αν $x\leq \dfrac{\beta}{a}$ τότε $x<\dfrac{\delta}{\gamma}$ οπότε P(x)<0.

$\bullet$ Αν $x\geq \dfrac{\delta}{\gamma}$ τότε $x>\dfrac{\beta}{a}$ οπότε P(x)>0.

Άρα κάθε ρίζα του P(x)

είναι στο διάστημα $(\dfrac{\beta}{a},\dfrac{\delta}{\gamma}).$

#3

Έστω

οι ρίζες του

. Τότε

$\displaystyle x+y+z = \frac{\beta}{\alpha} < \frac{\delta}{\gamma} = \frac{xyz}{xy+yz+zx}$

Ας παρατηρήσουμε ότι $xy+yz+zx = \frac{\gamma}{\alpha} > 0$ . Έστω $x \in \mathbb{R}$ . Αφού $\delta \neq 0$ , τότε $x \neq 0$ . Τότε έχουμε

$\begin{aligned} x \geqslant \frac{\delta}{\gamma} &\iff x \geqslant \frac{xyz}{xy+yz+zx}\\ &\iff x(xy+yz+zx) \geqslant xyz \\ &\iff x^2(y+z) \geqslant 0 \\ &\iff y+z \geqslant 0 \\ &\iff x+y+z \geqslant x \\ &\iff \frac{\beta}{\alpha} \geqslant x \end{aligned}$

Πρέπει λοιπόν $\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} < x < \frac{\delta}{\gamma}$ αφού αλλιώς έχουμε άτοπο.

ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

Re: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

Re: ρίζα πολυωνύμου και συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση