Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

#1

Δίνεται τετράγωνο $A B \Gamma\Delta$ , το μέσο

του

και σημείο

στη διαγώνιο $A\Gamma$ τέτοιο, ώστε $\Delta\widehat{E}M=90^{o}$ .
Να αποδείξετε οτι $AE=3E\Gamma$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο $A B \Gamma\Delta$ , το μέσο του και σημείο
στη διαγώνιο $A\Gamma$ τέτοιο, ώστε $\Delta\widehat{E}M=90^{o}$ .
Να αποδείξετε οτι $AE=3E\Gamma$ .

Το $\rm AMED$ είναι εγγράψιμο έτσι $\rm \angle EDM=45^{\circ}$ .
Η στροφή $\rm E_{-90^{\circ}}$ στέλνει το $\rm D$ στο $\rm M$ άρα προκειμένου $\rm CD\perp ME_{-90^{\circ}}(C)$ θα πρέπει να στείλει το $\rm C$ στο μέσο του $\rm DC$ και το ζητούμενο έπεται .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο $A B \Gamma\Delta$ , το μέσο του και σημείο
στη διαγώνιο $A\Gamma$ τέτοιο, ώστε $\Delta\widehat{E}M=90^{o}$ .
Να αποδείξετε οτι $AE=3E\Gamma$ .

Με ελαφρότερα μέσα :
Αν $\rm K$ το μέσο του $\rm DC$ το $\rm AMEDK$ είναι εγγράψιμο και έτσι αν $\rm a=DC$ τότε $\rm CE \cdot CA=CK \cdot CD \Leftrightarrow CEa\sqrt{2}=\dfrac{a}{2}\cdot a$ από όπου $\rm CE=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$ που δίνει το ζητούμενο.

#4

Πρόδρομε σε ευχαριστώ πολύ για τον κόπο σου!
Είσαι εξαιρετικός!

#5

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο $A B \Gamma\Delta$ , το μέσο του και σημείο
στη διαγώνιο $A\Gamma$ τέτοιο, ώστε $\Delta\widehat{E}M=90^{o}$ .
Να αποδείξετε οτι $AE=3E\Gamma$ .

Συγχαρητήρια κι από μένα στον Πρόδρομο για την αμεσότητα και την πληρότητα των απαντήσεών του!

: Τετράγωνο....png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 1059 φορές

Προφανώς το DEM

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Με Π. Θ βρίσκω $\displaystyle DM = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}$

Με θ. Πτολεμαίου τώρα στο εγγράψιμο AMED:

$\displaystyle AE \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4} \cdot \frac{{3a}}{2} \Leftrightarrow AE = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4},$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

p_gianno · #6

: tetragvno.png (22.05 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

εγγράψιμο $( \angle A= MED=90^0)$

$\angle A_1= \angle A_2=45^0 \rightarrow ME=ED \,\,\, (1)$

EB=ED

(συμμετρία ως προς

) (2)

Από 2 και 3 έχουμε $\triangle MEB$ ισοσκελές.

$EZ \perp BM \rightarrow BZ=0,5 BM=0,25 AB$ συνεπώς επειδή BC//ZE

έπεται ότι EC=0,25 AC

και συνεπώς 3 EC=AE

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 23, 2020 5:27 pm
Δίνεται τετράγωνο $A B \Gamma\Delta$ , το μέσο του και σημείο
στη διαγώνιο $A\Gamma$ τέτοιο, ώστε $\Delta\widehat{E}M=90^{o}$ .
Να αποδείξετε οτι $AE=3E\Gamma$ .

ομοκυκλικά και $CK . CD=CE . CA \Rightarrow \dfrac{a^2}{2}=CE . a \sqrt{2} \Rightarrow CE= \dfrac{a \sqrt{2} }{4} \Rightarrow EA=3EC$

Τώρα είδα τη δεύτερη λύση του Πρόδρομου που είναι ίδια μ αυτήν.Την αφήνω λόγω σχήματος

: τετράγωνο....png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 1021 φορές

Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Τετράγωνο και σχέση ευθυγράμμων τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση