Ανισότητα

Συντονιστής: chris_gatos

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6163
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Μαρ 23, 2020 5:20 pm



Θανάσης Κοντογεώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 845
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 23, 2020 8:45 pm

socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 5:20 pm
Αν x_1, x_2, \dots, x_n>0, n \geq 2, με x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=n^3 να δείξετε ότι

\displaystyle{\frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2}+ \frac{\log_{x_2}^4 x_3}{x_2+x_3}+ \cdots +  \frac{\log_{x_n}^4 x_1}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}}

Αρχικά κάνω αλλαγή βάσης \rm \log_{x_1}x_2=\dfrac{lnx_2}{lnx_1} και έτσι αρκεί \rm S=\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}(\dfrac{lnx_{i+1}}{lnx_i})^4 \cdot \dfrac{1}{x_i+x_{i+1}}\geq \dfrac{1}{2}με  \rm x_{n+1}=x_1.
Από \rm AM-GM έχω
\rm S=\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}(\dfrac{lnx_{i+1}}{lnx_i})^4\cdot \dfrac{1}{x_i+x_{i+1}} \geq n\dfrac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle{ \rm \prod_{i=1}^{n}\left ( x_i+x_{i+1} \right )}}}}\,\,\,(*)
Από ανισότητα δυνάμεων έχω:
\rm \displaystyle{ \sqrt[n]{\rm \prod_{i=1}^{n}\left ( x_i+x_{i+1} \right )}\leq \dfrac{\displaystyle {\sum_{i=1}^{n}x_i+x_{i+1}}}{n}=\dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}2x_i}}{n}\leq \sqrt{\dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}4x_i^2}}{n}}=\sqrt{\dfrac{4n^3}{n}}=2n
Από την (*) λοιπόν έχουμε \rm S \geq n\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}

Σημείωση : Η παραπάνω απόδειξη νομίζω δείχνει ότι η ανισότητα ισχύει για κάθε δύναμη των λογαρίθμων στους αριθμητές.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Μαρ 23, 2020 8:56 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 8:45 pm
socrates έγραψε:
Δευ Μαρ 23, 2020 5:20 pm
Αν x_1, x_2, \dots, x_n>0, n \geq 2, με x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=n^3 να δείξετε ότι

\displaystyle{\frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2}+ \frac{\log_{x_2}^4 x_3}{x_2+x_3}+ \cdots +  \frac{\log_{x_n}^4 x_1}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}}

Αρχικά κάνω αλλαγή βάσης \rm \log_{x_1}x_2=\dfrac{lnx_2}{lnx_1} και έτσι αρκεί S=\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}\dfrac{lnx_{i+1}}{lnx_i}\cdot \dfrac{1}{x_i+x_{i+1}}\geq \dfrac{1}{2}με  \rm x_{n+1}=x_1.
Από \rm AM-GM έχω
\rm S=\displaystyle {\rm \sum_{i=1}^{n}\dfrac{lnx_{i+1}}{lnx_i}\cdot \dfrac{1}{x_i+x_{i+1}} \geq n\dfrac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle{ \rm \prod_{i=1}^{n}\left ( x_i+x_{i+1} \right )}}}}\,\,\,(*)
Από ανισότητα δυνάμεων έχω:
\rm \displaystyle{ \sqrt[n]{\rm \prod_{i=1}^{n}\left ( x_i+x_{i+1} \right )}\leq \dfrac{\displaystyle {\sum_{i=1}^{n}x_i+x_{i+1}}}{n}=\dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}2x_i}}{n}\leq \sqrt{\dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}4x_i^2}}{n}}=\sqrt{\dfrac{4n^3}{n}}=2n
Από την (*) λοιπόν έχουμε \rm S \geq n\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}
Θα πρέπει να προστεθεί στις υποθέσεις ότι x_{i}\neq 1
Πρόδρομε εχεις ξεχάσεις κάτι 4


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4662
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 23, 2020 9:19 pm

Και εδώ πριν 2 χρόνια.
matha έγραψε:.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης