Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

#1

Να ορίσετε τους $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ έτσι ώστε το κλάσμα $\frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}$
να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left [ -3,4 \right ]$ , και μόνον αυτές, όταν $x\epsilon \mathbb{R}$ .

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2020 12:00 am
Να ορίσετε τους $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ έτσι ώστε το κλάσμα $\frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}$
να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left [ -3,4 \right ]$ , και μόνον αυτές, όταν $x\epsilon \mathbb{R}$ .

Έστω

οι ζητούμενοι αριθμοί. Από την $-3\leq \dfrac{x^2+ax+b}{x^2+1}\leq 4$ ,

πολλαπλασιάζοντας με x^2+1>0

και μεταφέροντας όλους τους όρους καταλλήλως παίρνουμε τις

$3x^2-ax+4-b\geq 0$ και $4x^2+ax+b+3\geq 0$

οι οποίες πρέπει να ισχύουν για κάθε $x\in \mathbb{R}$ και με τις ισότητες να λαμβάνονται για κάποιο

.

Aφού οι τιμές των άκρων πρέπει να λαμβάνονται, οι διακρίνουσες των τριωνύμων θα πρέπει να είναι μηδενικές. Δηλ.

a^2-48+12b =0

και

.

Από τις τελευταίες, με αφαίρεση κατά μέλη εύκολα παίρνουμε b=0

, και με αντικατάσταση, a^2=48

.

Συνεπώς, $a=\pm 4\sqrt{3}$ και b=0

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

achilleas έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2020 5:01 am

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 01, 2020 12:00 am
Να ορίσετε τους $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ έτσι ώστε το κλάσμα $\frac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x^{2}+1}$
να λαμβάνει όλες τις τιμές του διαστήματος $\left [ -3,4 \right ]$ , και μόνον αυτές, όταν $x\epsilon \mathbb{R}$ .
......................
Συνεπώς, $a=\pm 4\sqrt{3}$ και .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Παλιά αυτές τις ασκήσεις τις κάναμε και έτσι :
''Ονομάζουμε'' το κλάσμα

, γράφουμε την ισότητα στη μορφή τριωνύμου και απατούμε αυτό να έχει ρίζες τα -3,4

.Mε σχέσεις ριζών συντελεστών βρίσκουμε τα a,b

.Μια μικρή διερεύνηση για το συντελεστή του x^2

δεν έχει καμιά απολύτως δυσκολία.

Προσωπικά θα άλλαζα λίγο τους αριθμούς, ώστε να προκύψουν ακέραιες τιμές για τα a,b

, αλλά ο Χρήστος μάλλον έχεις τους λόγους του που διάλεξε αυτούς.

Καλό μήνα !

Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Re: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Re: Ρητή παράσταση με παραμέτρους.

Μέλη σε σύνδεση