Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;
Για ποιους φυσικούς αριθμούς ισχύει ότι:
;
;
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;
Μια, μάλλον δύσκολη λύση...
Χρησιμοποιούμε την ανισότητα ,
τις ταυτότητες
και τη μονοτονία του .
Επαληθεύουμε εύκολα ότι
ενώ
Ακόμη
και το είναι η ρίζα της συνάρτησης , η οποία βρίσκεται στο ,
όπου η είναι γνησίως φθίνουσα με και έτσι
Τελικά έχουμε το οποίο δίνει τις ζητούμενες τιμές
του ακεραίου .
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Για ποιούς φυσικούς ισχύει η ανίσωση;
Μια ακόμα αντιμετώπιση:
Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι
για κάθε .
Επομένως ισχύει
Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε
δηλαδή Επομένως είναι
Λόγω της μονοτονίας του ημιτόνου είναι
.
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με το να αποδείξουμε ότι
()
()
()
και ως εκ τούτου οι ζητούμενες τιμές του θα είναι οι
Οι (), () αποδεικνύονται εύκολα μέσω των γνωστών σχέσεων
και .
Το ενδιαφέρον είναι η απόδειξη της ().
Μια απόδειξη με χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών έδωσε παραπάνω ο abgd.
Μια στοιχειώδης απόδειξη είναι η εξής:
Από τον τύπο του τριπλάσιου τόξου έχουμε
.
Επομένως θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
Αν , τότε
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι
,
οπότε προκύπτει
.
Τώρα είναι απλό να δούμε ότι
Από την ανισότητα Jordan γνωρίζουμε ότι
για κάθε .
Επομένως ισχύει
Λόγω των συνθηκών, λαμβάνουμε
δηλαδή Επομένως είναι
Λόγω της μονοτονίας του ημιτόνου είναι
.
Η απόδειξη θα ολοκληρωθεί με το να αποδείξουμε ότι
()
()
()
και ως εκ τούτου οι ζητούμενες τιμές του θα είναι οι
Οι (), () αποδεικνύονται εύκολα μέσω των γνωστών σχέσεων
και .
Το ενδιαφέρον είναι η απόδειξη της ().
Μια απόδειξη με χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών έδωσε παραπάνω ο abgd.
Μια στοιχειώδης απόδειξη είναι η εξής:
Από τον τύπο του τριπλάσιου τόξου έχουμε
.
Επομένως θέλουμε να αποδείξουμε ότι:
Αν , τότε
Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι
,
οπότε προκύπτει
.
Τώρα είναι απλό να δούμε ότι
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες