Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο \left [ a,b \right ] και για κάθε x, y \epsilon \left [ a,b \right ]
ισχύει ότι: f(x)g(y)\geq 1, για κάθε x, y \epsilon \mathbb{R} τότε να αποδείξετε ότι:

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Δεκ 11, 2019 11:45 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο \left [ a,b \right ] και για κάθε x, y \epsilon \left [ a,b \right ]
ισχύει ότι: f(x)g(y)\geq 1, για κάθε x, y \epsilon \mathbb{R} τότε να αποδείξετε ότι:

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2
Εφόσον οι f,g δεν μηδενίζονται (άμεσο από την δοθείσα), διατηρούν το πρόσημό τους. Είναι και ομόσημες. Χωρίς βλάβη είναι θετικές γιατί μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με την αντίθετή τους.

Έστω g(y_0) η μικρότερη τιμή της g. Από την δοθείσα ανισότητα είναι ισχύει f(x) \ge \dfrac {1}{g(y_0)}. Άρα

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx \ge  \int_{a}^{b}  \dfrac {1}{g(y_0)} dx \int_{a}^{b}g(y_0)dx  =   \dfrac {b-a}{g(y_0) } g(y_0) (b-a)=  (b-a)^2


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 613
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Δεκ 12, 2019 12:00 am

chris_gatos έγραψε:
Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο \left [ a,b \right ] και για κάθε x, y \epsilon \left [ a,b \right ]
ισχύει ότι: f(x)g(y)\geq 1, για κάθε x, y \epsilon \mathbb{R} τότε να αποδείξετε ότι:

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2
\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx= \int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(y)dy=

\displaystyle = \int_{a}^{b}\left (\int_{a}^{b}f(x)g(y)dy \right )dx= \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(x)g(y)dydx

\displaystyle \geq \int_{a}^{b}\int_{a}^{b}1dydx=(b-a)^2


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1768
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Δεκ 12, 2019 12:21 am

από το θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού : \int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi_1)(b-a),~~~\int_{a}^{b}g(x)dx=g(\xi_2)(b-a)

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx=f(\xi_1)g(\xi_2)(b-a)(b-a)\ge (b-a)^2


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Δεκ 12, 2019 12:43 am

chris_gatos έγραψε:
Τετ Δεκ 11, 2019 10:59 pm
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο \left [ a,b \right ] και για κάθε x, y \epsilon \left [ a,b \right ]
ισχύει ότι: f(x)g(y)\geq 1, για κάθε x, y \epsilon \mathbb{R} τότε να αποδείξετε ότι:

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2
C-S

Και δεν χρειάζεται το f(x)g(y)\geq 1, για κάθε x, y \epsilon \mathbb{R}
Χρειάζεται το πιο ελαφρύ
f(x)g(x)\geq 1, για κάθε x \epsilon [a,b]

Η εκφώνηση θα έπρεπε να είναι



Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο \left [ a,b \right ] και για κάθε x, y \epsilon \left [ a,b \right ]
ισχύει ότι: f(x)g(y)\geq 1 τότε να αποδείξετε ότι:

\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx\geq (b-a)^2


Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6855
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Δεκ 12, 2019 12:47 am

Εκ παραδρομής Σταύρο έγραψα το \mathbb{R}. Ευχαριστώ.
Ξεσυνήθισα μάλλον. Αφού γραφω πλέον στον equation editor κι όχι όπως παλιά.
Πάντως δεν επηρέασε και πολύ το αποτέλεσμα.


Χρήστος Κυριαζής
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2899
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Δεκ 12, 2019 12:54 am

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 12, 2019 12:47 am
Εκ παραδρομής Σταύρο έγραψα το \mathbb{R}. Ευχαριστώ.
Ξεσυνήθισα μάλλον. Αφού γραφω πλέον στον equation editor κι όχι όπως παλιά.
Πάντως δεν επηρέασε και πολύ το αποτέλεσμα.
Δεν πειράζει Χρήστο.
Στην ουσία δεν είναι λάθος.Ειναι κακή διατύπωση που σε καμία περίπτωση
δεν μπερδεύει αυτόν που θέλει να το λύσει.
Αλλά λάθη που ταλαιπωρούν τον λύτη (δηλαδή λάθος δεδομένα)
είναι τα σοβαρά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11928
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανισότητα για συναρτήσεις και ολοκληρώματα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 12, 2019 3:53 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Δεκ 12, 2019 12:43 am
Και δεν χρειάζεται το f(x)g(y)\geq 1, για κάθε x, y \epsilon \mathbb{R}
Χρειάζεται το πιο ελαφρύ
f(x)g(x)\geq 1, για κάθε x \epsilon [a,b]
Σωστά. Χάριν πληρότητας ας δούμε αυτό που λέει ο Σταύρος:

Χωρίς βλάβη για κάθε x είναι f(x)\ge 0, \, g(x) \ge 0. Άρα

\displaystyle{\int_{a}^{b}f(x)dx \int_{a}^{b}g(x)dx     \geq  \left ( \int_{a}^{b}\sqrt {f(x)g(x)} dx \right ) ^2\geq  \left ( \int_{a}^{b} 1 dx \right ) ^2   = (b-a)^2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης