Βρείτε τα α και b...

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6826
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Βρείτε τα α και b...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Νοέμ 13, 2019 9:41 pm

Έστω f(x)=|ln(x+1)| και οι πραγματικοί αριθμοί \alpha, b ( \alpha<b)
ικανοποιούν τις σχέσεις: f(\alpha)=f(-\frac{b+1}{b+2}) και f(10\alpha+6b+21)=4ln2.
Να βρείτε τις τιμές των \alpha, b.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2813
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τα α και b...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Νοέμ 13, 2019 11:03 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Νοέμ 13, 2019 9:41 pm
Έστω f(x)=|ln(x+1)| και οι πραγματικοί αριθμοί \alpha, b ( \alpha<b)
ικανοποιούν τις σχέσεις: f(\alpha)=f(-\frac{b+1}{b+2}) και f(10\alpha+6b+21)=4ln2.
Να βρείτε τις τιμές των \alpha, b.
H f ορίζεται στο (-1,+\infty), οπότε:
*-1<a<b
*-\frac{b+1}{b+2}>-1 \Leftrightarrow b>-2,
* 10a+6b+21>-1 \Leftrightarrow 5a+3b+11>0.
Με βάση τις προϋποθέσεις αυτές έχουμε:
\displaystyle{\begin{Bmatrix} f(\alpha)=f(-\frac{b+1}{b+2}) \\ f(10\alpha+6b+21)=4ln2 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} a+1=\frac{1}{b+2}\;\;or\;\; a+1=b+2 \\ 10a+6b+22=16\;\;or\;\; 10a+6b+22=\frac{1}{16} \end{Bmatrix}.}
Επιπλέον:
* Αφού -1<a<b δεν μπορεί να ισχύει a+1=b+2 .
* Αφού a>-1 \Rightarrow 10a>-10 \Rightarrow 10a+6b>-10+6b \Rightarrow 10a+6b>-16 \Rightarrow 10a+6b+22>6, δεν μπορεί να ισχύει 10a+6b+22=\frac{1}{16} .
Συνεπώς πρέπει να λύσουμε το σύστημα
\displaystyle{\begin{Bmatrix} a+1=\frac{1}{b+2} \\ 10a+6b+22=16\end{Bmatrix},}
από το οποίο προκύπτει \displaystyle{(a,b)=\left(-\frac{2}{5},-\frac{1}{3} \right),} που είναι δεκτή με βάση τους περιορισμούς.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες