Ανισότητα με ολοκλήρωμα.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ανισότητα με ολοκλήρωμα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Οκτ 09, 2019 12:08 am

Να αποδείξετε ότι:
\int_{0}^{1}[2x+(1+20x)^{\frac{1}{30}}\left ( 1+17x \right )^{\frac{1}{51}}]dx<e


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8219
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 09, 2019 10:25 am

Από την ανισότητα Bernoulli είναι \displaystyle (1+20x)^{\tfrac{1}{30}}(1+17x)^{\tfrac{1}{51}} \leqslant \left(1 + \tfrac{2x}{3} \right)\left(1 + \tfrac{x}{3} \right) = 1 + x + \frac{2x^2}{9}.

Επομένως έχουμε \displaystyle  I \leqslant\int_{0}^{1}   \left(1+3x + \frac{2x^2}{9}\right)\mathrm{d}x = 1 + \frac{3}{2}+ \frac{2}{27}< 1 + 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{6} < e.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2568
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Οκτ 09, 2019 9:00 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Οκτ 09, 2019 12:08 am
Να αποδείξετε ότι:
\int_{0}^{1}[2x+(1+20x)^{\frac{1}{30}}\left ( 1+17x \right )^{\frac{1}{51}}]dx<e
Για να το δούμε χωρίς λογισμό και με καλύτερο φράγμα από του Δημήτρη
Το

\int_{0}^{1}2xdx=1

από εμβαδό τριγώνου.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι για x>0 και n\geq 2

(1+x)^{n}\geq 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^{2}

Ετσι

.(1+\frac{1}{10})^{51}\geq 1+\frac{51}{10}+\frac{51.50}{2}\frac{1}{100}> 1+5+\frac{2500}{200}> 6+12=18

(1+\frac{1}{5})^{30}\geq 1+\frac{30}{5}+\frac{30.29}{2}\frac{1}{25}> 7+\frac{30.25}{50}> 21

Με βάση τις προηγούμενες για 0\leq x\leq 1

είναι

(1+20x)^{\frac{1}{30}}\left ( 1+17x \right )^{\frac{1}{51}}< (1+\frac{1}{5})(1+\frac{1}{10})=1+\frac{16}{50}

Αρα

\int_{0}^{1}(1+20x)^{\frac{1}{30}}\left ( 1+17x \right )^{\frac{1}{51}}dx< 1+\frac{16}{50}

Τελικά είναι

\int_{0}^{1}[2x+(1+20x)^{\frac{1}{30}}\left ( 1+17x \right )^{\frac{1}{51}}]dx<2+\frac{16}{50}< e


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες