Ύψη και αποστάσεις

#1

Έστω

τα ύψη τριγώνου ABC

και

ένα εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν x, y, z

είναι οι

αποστάσεις του

από τις πλευρές BC, AC, AB

αντίστοιχα, να δείξετε ότι: $\displaystyle \frac{{{h_a}}}{x} + \frac{{{h_b}}}{y} + \frac{{{h_c}}}{z} \ge 9$

ksofsa · #2

Ισχύει από τύπους εμβαδού τριγώνου:

$2E=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=ax+by+cz$ .

Αρα

$\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=\frac{ax+by+cz}{2E}=1$

Οπότε , από την ανισότητα Cauchy Schwartz έχω:

$(\frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z})(\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}})\geq 9\Leftrightarrow \frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z}\geq 9$

και το ζητουμενο έχει αποδειχθεί.

Ύψη και αποστάσεις

Ύψη και αποστάσεις

Re: Ύψη και αποστάσεις

Μέλη σε σύνδεση