Ύψη και αποστάσεις

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8519
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ύψη και αποστάσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 18, 2019 7:14 pm

Έστω h_a, h_b, h_c τα ύψη τριγώνου ABC και P ένα εσωτερικό σημείο του τριγώνου. Αν x, y, z είναι οι

αποστάσεις του P από τις πλευρές BC, AC, AB αντίστοιχα, να δείξετε ότι: \displaystyle \frac{{{h_a}}}{x} + \frac{{{h_b}}}{y} + \frac{{{h_c}}}{z} \ge 9



Λέξεις Κλειδιά:
ksofsa
Δημοσιεύσεις: 170
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ύψη και αποστάσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Τετ Σεπ 18, 2019 7:55 pm

Ισχύει από τύπους εμβαδού τριγώνου:

2E=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}=ax+by+cz.

Αρα

\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}}=\frac{ax+by+cz}{2E}=1

Οπότε , από την ανισότητα Cauchy Schwartz έχω:

(\frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z})(\frac{x}{h_{a}}+\frac{y}{h_{b}}+\frac{z}{h_{c}})\geq 9\Leftrightarrow \frac{h_{a}}{x}+\frac{h_{b}}{y}+\frac{h_{c}}{z}\geq 9

και το ζητουμενο έχει αποδειχθεί.


Κώστας Σφακιανάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης