Κύκλος και ρητά σημεία.

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Κύκλος και ρητά σημεία.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιούλ 31, 2019 10:10 am

Έστω ένας κύκλος με κέντρο το σημείο K(0,\sqrt2) και ακτίνα r>0.
Να αποδείξετε ότι το πολύ δύο σημεία αυτού του κύκλου είναι ρητά.
(Θα λέμε ότι ένα σημείο λέγεται ρητό όταν και η τετμημένη και η τεταγμένη είναι ρητοί αριθμοί)


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κύκλος και ρητά σημεία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 31, 2019 12:35 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 10:10 am
Έστω ένας κύκλος με κέντρο το σημείο K(0,\sqrt2) και ακτίνα r>0.
Να αποδείξετε ότι το πολύ δύο σημεία αυτού του κύκλου είναι ρητά.
(Θα λέμε ότι ένα σημείο λέγεται ρητό όταν και η τετμημένη και η τεταγμένη είναι ρητοί αριθμοί)
Τα σημεία του κύκλου ικανοποιούν x^2+(y-\sqrt 2)^2=r^2. Αν το (p,q) είναι ρητό σημείο του κύκλου τότε και το (-p,q) είναι ρητό σημείο του ίδιου κύκλου. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα ρητά σημεία πέρα από αυτά, που σημαίνει ότι τα ρητά σημεία είναι το πολύ δύο.

Έστω (s,t) ρητό σημείο, δεδομένου ότι το (p,q) είναι ρητό σημείο του κύκλου. Τότε x^2+(y-\sqrt 2)^2=r^2= s^2+(t-\sqrt 2)^2. Άρα

 (p-s)(p+s) = (t+q-2\sqrt 2)(t-q), \,  (*). Δεν μπορεί t-q\ne 0 γιατί τότε  t+q-2\sqrt 2= \dfrac  {(p-s)(p+s) }{t-q}\in \mathbb Q. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού  t+q\in \mathbb Q, -2\sqrt 2 \notin \mathbb Q. Τελικά t=q οπότε από την (*) είναι s=\pm p. Άρα (s,t) = (\pm p, q) , ως άνω. Και λοιπά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2580
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κύκλος και ρητά σημεία.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 31, 2019 1:32 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 10:10 am
Έστω ένας κύκλος με κέντρο το σημείο K(0,\sqrt2) και ακτίνα r>0.
Να αποδείξετε ότι το πολύ δύο σημεία αυτού του κύκλου είναι ρητά.
(Θα λέμε ότι ένα σημείο λέγεται ρητό όταν και η τετμημένη και η τεταγμένη είναι ρητοί αριθμοί)
Προκύπτει άμεσα από το εξής:

Αν ένας κύκλος στο επίπεδο έχει τρία ρητά σημεία
τότε το κέντρο του είναι ρητό σημείο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11358
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κύκλος και ρητά σημεία.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 31, 2019 1:48 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 1:32 pm
Προκύπτει άμεσα από το εξής:

Αν ένας κύκλος στο επίπεδο έχει τρία ρητά σημεία
τότε το κέντρο του είναι ρητό σημείο.
Ωραίος τρόπος.

Για όφελος των μαθητών ας δούμε τις λεπτομέρειες: Έστω (p,q), (r,s), (t,u) τρία ρητά σημεία του κύκλου. Το κέντρο είναι στην μεσοκάθετο καθενός από τα τρία τμήματα που ορίζουν. Έτσι ικανοποιεί, π.χ., (x-p)^2+(y-q)^2= (x-r)^2+(y-s)^2 που γράφεται στην μορφή ax+by=c με a,b,c \in \mathbb Q μετά τις απλοποιήσεις. Όμοια και για μια δεύτερη μεσοκάθετο, ας πούμε την a'x+b'y=c'. Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε το κέντρο (x,y) ως ρητή παράσταση των ρητών a,b,c,a',b',c' (άμεσο και γνωστό), δηλαδή είναι ρητό σημείο, όπως θέλαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες