Σελίδα 1 από 1

Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 30, 2019 2:11 pm
από chris_gatos
Έστω ένας κύκλος με ακτίνα r ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0)
και τέμνει τους άξονες x'x,y'y στα σημεία A(\alpha,0), B(0,b) αντίστοιχα.
Αν ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) του ίχνους της καθέτου από το σημείο O(0,0)
προς τη χορδή AB εκφράζεται από την εξίσωση:
\left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )=\lambda r^2\alpha
τότε να υπολογίσετε την τιμή του \lambda

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 30, 2019 9:11 pm
από papamixalis
Καλησπέρα κύριε Χρήστο, καλησπέρα :logo:

Έστω X=(x,y) το ίχνος.
Τα διανύσματα AB,OX είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι 0.
Άρα -ax+by=0 \leftrightarrow y=\dfrac{ax}{b} , b διάφορο του 0 (Αλλιώς το B θα ταυτιζόταν με το O)

Επιπλέον το τρίγωνο OXB είναι ορθογώνιο άρα από πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:
OX^2+XB^2=OB^2 \leftrightarrow x^2+y^2 + x^2+(y-b)^2 = b^2 \leftrightarrow x^2+y^2=yb
Αντικαθιστώντας προκύπτει x^2+\dfrac{a^2x^2}{b^2} -\dfrac{a}{b}xb=0 \leftrightarrow
x((1+\dfrac{a^2}{b^2})x-a)=0 \leftrightarrow x=\dfrac{ab^2}{a^2+b^2} To x είναι διάφορο του 0 από την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου.

Αντικαθιστώντας σε αυτήν έχουμε
(yb)^3\dfrac{b^2}{a^2x^4}=\lambda r^2a \leftrightarrow...\leftrightarrow \dfrac{b^2}{x}=\lambda r^2

Αντικαθιστώντας το x καταλήγουμε ότι

\lambda=\dfrac{a^2+b^2}{ar^2}

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε κάτι, κάθε παρατήρηση ευπρόσδεκτη.

Φιλικά
Μιχάλης

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 31, 2019 12:03 am
από Mihalis_Lambrou
chris_gatos έγραψε:
Τρί Ιούλ 30, 2019 2:11 pm
Έστω ένας κύκλος με ακτίνα r ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0)
και τέμνει τους άξονες x'x,y'y στα σημεία A(\alpha,0), B(0,b) αντίστοιχα.
Αν ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) του ίχνους της καθέτου από το σημείο O(0,0)
προς τη χορδή AB εκφράζεται από την εξίσωση:
\left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )=\lambda r^2\alpha
τότε να υπολογίσετε την τιμή του \lambda
Χρήστο, νομίζω ότι η εκφώνηση είναι προβληματική (σε δύο σημεία). Από πού είναι η άσκηση για να ελέγξουμε τι ακριβώς γράφει
ο συγγραφέας της;

Πρώτον. Όπως το καταλαβαίνω, μόνο το r είναι δεδομένο. Τα \alpha, \beta είναι μεταβλητά (και αλληλοεξαρτώμενα).

Εύκολα βλέπουμε (το έκανε με έναν τρόπο ο Μιχάλης παραπάνω, αλλά υπάρχει και ευκολότερος τρόπος) ότι

\displaystyle{x= \dfrac {\alpha \beta ^2 }{\alpha ^2 +\beta ^2}, \, y= \dfrac {\alpha ^2 \beta  }{\alpha ^2 +\beta ^2}} οπότε (απλές πράξεις) η δοθείσα
ισούται

\left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )=... = \alpha ^2 +\beta ^2, \, (*)

Μέχρι εδώ τρόπος του λέγειν καλά, αλλά ας δούμε την συνέχεια.

Δεύτερον. Από το ορθογώνιο τρίγωνο OAB έπεται ότι η ακτίνα r του κύκλου ικανοποιεί r = \frac {1}{2}AB= \frac {1}{2}\sqrt {\alpha ^2 +\beta ^2}

Οπότε η (*) γίνεται

\left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )= \frac {1}{4}r^2

Tώρα μάλιστα. Πρόκειται για εξίσωση γεωμετρικού τόπου με παραμέτρους μόνο το δεδομένο r, ως όφειλε.

Για να συνοψίσω. Έπεται ότι \lambda = \frac {1}{4\alpha}, δηλαδή το \lambda μεταβλητό και όχι συναρτήσει μόνο των δεδομένων της άσκησης. Θα ήταν πιο δόκιμο η άσκηση να έδινε την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου ως \left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )= \lambda r^2 (δηλαδή χωρίς το \alpha) ώστε το ζητούμενο \lambda να είναι σταθερό, \lambda = \frac {1}{4}, και όχι εξαρτώμενο από μη δεδομένα στοιχεία.

Ας επαναλάβω, από πού είναι η άσκηση;

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 31, 2019 1:44 am
από STOPJOHN
chris_gatos έγραψε:
Τρί Ιούλ 30, 2019 2:11 pm
Έστω ένας κύκλος με ακτίνα r ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0)
και τέμνει τους άξονες x'x,y'y στα σημεία A(\alpha,0), B(0,b) αντίστοιχα.
Αν ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) του ίχνους της καθέτου από το σημείο O(0,0)
προς τη χορδή AB εκφράζεται από την εξίσωση:
\left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )=\lambda r^2\alpha
τότε να υπολογίσετε την τιμή του \lambda
Θα κάνω κάποιες δικές μου υποθέσεις . Είναι AL=LB=OL=r,4r^{2}=a^{2}+b^{2},

οπότε μπορεί η ακτίνα να είναι σταθερή και τα a,b μεταβλητά ;;

Πιθανόν a μεταβλητό και b σταθερό ....

Χρειάζονται κάποιες διευκρινήσεις .Και η σκέψη για τη λύση

OM,y=\dfrac{a}{b}x,(1),AB,y=\dfrac{-b}{a}(x-a),(2), (1),(2)\Rightarrow x=\dfrac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},y=\dfrac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}

Οπότε ( x^{2}+y^{2})^{2}=\dfrac{a^{4}b^{4}}{(a^{2}+b^{2})^{2}},\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{(a^{2}+b^{2})^{3}}{a^{4}b^{4}} και η δοθεισα εξίσωση του γεωμετρικού τόπου γράφεται

\lambda ar^{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow a\lambda =4\Leftrightarrow \lambda =\dfrac{4}{a}



Γιάννης

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 31, 2019 9:36 am
από Mihalis_Lambrou
Γιάννη, ίσως δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις.

Ας πάρω τα πράγματα από την αρχή.
STOPJOHN έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 1:44 am
Θα κάνω κάποιες δικές μου υποθέσεις . Είναι AL=LB=OL=r,4r^{2}=a^{2}+b^{2},

οπότε μπορεί η ακτίνα να είναι σταθερή και τα a,b μεταβλητά ;;

Πιθανόν a μεταβλητό και b σταθερό ....
Βεβαίως και μπορεί η ακτίνα να είναι σταθερή και τα a,b μεταβλητά. Το παρακάτω σχήμα δείχνει
τέτοια περίπτωση.
STOPJOHN έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 1:44 am
Χρειάζονται κάποιες διευκρινήσεις .Και η σκέψη για τη λύση
...
 x=\dfrac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},y=\dfrac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}}
...
 \lambda =\dfrac{4}{a}
Τι καινούργιο λένε αυτά που δεν τα είπα στο προηγούμενο ποστ μου;

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 31, 2019 9:54 am
από chris_gatos
Καλημέρα σε όλους κι ευχαριστώ για την ενασχόληση.
Μιχάλη έτσι όπως την έδωσα είναι προβληματική και φταίω αποκλειστικά εγώ αφού αυτό το άλφα που υπάρχει
δεξιά της ισότητας προστέθηκε από δική μου απροσεξία. Η σωστή εκφώνηση είναι:
chris_gatos έγραψε:
Τρί Ιούλ 30, 2019 2:11 pm
Έστω ένας κύκλος με ακτίνα r ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0,0)
και τέμνει τους άξονες x'x,y'y στα σημεία A(\alpha,0), B(0,b) αντίστοιχα.
Αν ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) του ίχνους της καθέτου από το σημείο O(0,0)
προς τη χορδή AB εκφράζεται από την εξίσωση:
\left ( x^2+y^2 \right )^2\left ( \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \right )=\lambda r^2
τότε να υπολογίσετε την τιμή του \lambda
και η απάντηση είναι τέσσερα.
Οι προσεγγίσεις σας είναι μια χαρά, το αποτέλεσμα ατυχές κι αυτό οφείλεται, επαναλαμβάνω, σε εμένα αποκλειστικά.
Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία!

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 31, 2019 3:10 pm
από STOPJOHN
Καλημέρα Μιχάλη ,
Εχουμε διαφορετικά αποτελέσματα στην ευρεση της παραμέτρου λ και θελω να μαθαίνω από τα λαθη μου ....

Γιάννης

ΥΓ. Καλημέρα και στο Χρήστο και στους υπόλοιπους

Re: Κύκλος και γεωμετρικός τόπος ιχνών καθέτων.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 31, 2019 3:41 pm
από Mihalis_Lambrou
STOPJOHN έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 3:10 pm
Εχουμε διαφορετικά αποτελέσματα στην ευρεση της παραμέτρου λ
Γιάννη, το \lambda = \frac {1}{4\alpha} που γράφω είναι προφανές τυπογραφικό σφάλμα αντί του ορθού \lambda = \frac {4}{\alpha}.
Επί της ουσίας, στα υπόλοιπα, δεν βλέπω διαφορά.