Σελίδα 1 από 1

Μια με ευθείες

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:30 pm
από chris_gatos
Μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A\left ( -5,-4 \right ) τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις
x+3y+2=0, 2x+y+4=0 και x-y-5=0 στα σημεία B, C, D αντίστοιχα.
Αν ισχύει \left ( \frac{15}{AB} \right )^{2}+\left ( \frac{10}{AC} \right )^{2}=\left ( \frac{6}{AD} \right )^{2}
και επιπλέον η ευθεία που διέρχεται από το σημείο A έχει τη μορφή 2x+by+c=0, όπου b, c
πραγματικοί αριθμοί τότε να υπολογίσετε την τιμή του c

Re: Μια με ευθείες

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 27, 2019 1:54 am
από STOPJOHN
chris_gatos έγραψε:
Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:30 pm
Μια ευθεία διέρχεται από το σημείο A\left ( -5,-4 \right ) τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις
x+3y+2=0, 2x+y+4=0 και x-y-5=0 στα σημεία B, C, D αντίστοιχα.
Αν ισχύει \left ( \frac{15}{AB} \right )^{2}+\left ( \frac{10}{AC} \right )^{2}=\left ( \frac{6}{AD} \right )^{2}
και επιπλέον η ευθεία που διέρχεται από το σημείο A έχει τη μορφή 2x+by+c=0, όπου b, c
πραγματικοί αριθμοί τότε να υπολογίσετε την τιμή του c
Γειά σου Χρήστο

Εστω η κόκκινη ευθεία \epsilon :2x+by+c=0, Και εφόσον το σημείο A ανήκει στην ευθεία θα είναι c=10+4b,\epsilon ,2x+by+10+4b=0,(1)
Θα προσδιορίσω τις συντεταγμένες του σημείου B απο το σύστημα
2x+by+10=4b=0,x=3y+2=0,

B(\dfrac{-10b-30}{6-b},\dfrac{4b+6}{6-b})

ΣυνεπώςAB^{2}=15^{2}.\dfrac{b^{2}+4}{(6-b)^{2}}\Rightarrow \dfrac{15^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{(6-b)^{2}}{b^{2}+4},(*)

Ομοίως για το σημείο C Από το σύστημα 2x+y+4=0,2x+by+10+4b=0,C(\dfrac{-5}{1-b},\dfrac{6+4b}{1-b})

οπότε AC^{2}=25.\dfrac{b^{2}+4}{(1-b)^{2}}\Rightarrow \dfrac{10^{2}}{AC^{2}}=\dfrac{4(1-b)^{2}}{4+b^{2}},(**),

Ομοίως για το σημείο D, από το σύστημα x=y+5,2x+by+10+4b=0,AD^{2}=36.\dfrac{b^{2}+2}{(b+2)^{2}}\Rightarrow \dfrac{36}{AD^{2}}=\dfrac{(b+2)^{2}}{b^{2}+4},(***),

Αρα η δοθείσα σχέση λόγω των (*),(**),(***) γίνεται

(b+2)^{2}=(6-b)^{2}+4(1-b)^{2}\Leftrightarrow b=3,

και απο τη σχέση c-4b=10\Rightarrow c=22


Γιάννης

ΥΓ Υπάρχουν και οι ειδικές περιπτώσεις για τους πραγματικούς αριθμόυς b,c

δηλαδή (b,c)=(0,0),b=0,c\neq 0,

H περίπτωση b=c=0 απορρίπτεται εφόσον c-4b=10,

Η περιπτωση b=0,c=10, δίνει \epsilon ,x=-5 και αυτη απορριπτεται γιατί δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος. Ομοίως και για την εκδοχή c=0,b=\dfrac{-5}{2}

Re: Μια με ευθείες

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 30, 2019 1:47 pm
από chris_gatos
Γιάννη ευχαριστώ πάρα πολύ για την αναλυτικότατη παρουσίαση!
Να είσαι καλά!!