Μια με ευθείες

#1

Μια ευθεία διέρχεται από το σημείο $A\left ( -5,-4 \right )$ τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις
x+3y+2=0

,

και

στα σημεία B, C, D

αντίστοιχα.
Αν ισχύει $\left ( \frac{15}{AB} \right )^{2}+\left ( \frac{10}{AC} \right )^{2}=\left ( \frac{6}{AD} \right )^{2}$
και επιπλέον η ευθεία που διέρχεται από το σημείο

έχει τη μορφή 2x+by+c=0

, όπου

πραγματικοί αριθμοί τότε να υπολογίσετε την τιμή του

STOPJOHN · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 25, 2019 11:30 pm
Μια ευθεία διέρχεται από το σημείο $A\left ( -5,-4 \right )$ τέμνει τις ευθείες με εξισώσεις
, και στα σημεία αντίστοιχα.
Αν ισχύει $\left ( \frac{15}{AB} \right )^{2}+\left ( \frac{10}{AC} \right )^{2}=\left ( \frac{6}{AD} \right )^{2}$
και επιπλέον η ευθεία που διέρχεται από το σημείο έχει τη μορφή , όπου
πραγματικοί αριθμοί τότε να υπολογίσετε την τιμή του

Γειά σου Χρήστο

Εστω η κόκκινη ευθεία $\epsilon :2x+by+c=0,$ Και εφόσον το σημείο

ανήκει στην ευθεία θα είναι $c=10+4b,\epsilon ,2x+by+10+4b=0,(1)$
Θα προσδιορίσω τις συντεταγμένες του σημείου

απο το σύστημα
2x+by+10=4b=0,x=3y+2=0

,

$B(\dfrac{-10b-30}{6-b},\dfrac{4b+6}{6-b})$

Συνεπώς $AB^{2}=15^{2}.\dfrac{b^{2}+4}{(6-b)^{2}}\Rightarrow \dfrac{15^{2}}{AB^{2}}=\dfrac{(6-b)^{2}}{b^{2}+4},(*)$

Ομοίως για το σημείο

Από το σύστημα $2x+y+4=0,2x+by+10+4b=0,C(\dfrac{-5}{1-b},\dfrac{6+4b}{1-b})$

οπότε $AC^{2}=25.\dfrac{b^{2}+4}{(1-b)^{2}}\Rightarrow \dfrac{10^{2}}{AC^{2}}=\dfrac{4(1-b)^{2}}{4+b^{2}},(**),$

Ομοίως για το σημείο

από το σύστημα $x=y+5,2x+by+10+4b=0,AD^{2}=36.\dfrac{b^{2}+2}{(b+2)^{2}}\Rightarrow \dfrac{36}{AD^{2}}=\dfrac{(b+2)^{2}}{b^{2}+4},(***),$

Αρα η δοθείσα σχέση λόγω των (*),(**),(***)

γίνεται

$(b+2)^{2}=(6-b)^{2}+4(1-b)^{2}\Leftrightarrow b=3,$

και απο τη σχέση $c-4b=10\Rightarrow c=22$

Γιάννης

ΥΓ Υπάρχουν και οι ειδικές περιπτώσεις για τους πραγματικούς αριθμόυς b,c

δηλαδή $(b,c)=(0,0),b=0,c\neq 0$ ,

H περίπτωση b=c=0

απορρίπτεται εφόσον c-4b=10

,

Η περιπτωση b=0,c=10

, δίνει $\epsilon ,x=-5$ και αυτη απορριπτεται γιατί δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος. Ομοίως και για την εκδοχή $c=0,b=\dfrac{-5}{2}$

#3

Γιάννη ευχαριστώ πάρα πολύ για την αναλυτικότατη παρουσίαση!
Να είσαι καλά!!

Μια με ευθείες

Μια με ευθείες

Re: Μια με ευθείες

Re: Μια με ευθείες

Μέλη σε σύνδεση