Σελίδα 1 από 1

Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 24, 2019 10:38 pm
από chris_gatos
Για ποιες τιμές της παραμέτρου α η εξίσωση x^{4}+2ax^{3}+x^{2}+2ax+1=0
έχει δύο τουλάχιστον διακεκριμένες αρνητικές ρίζες.

Re: Μια ακόμη παραμετρική εξίσωση...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 24, 2019 11:35 pm
από cretanman
Απάντηση: Πρέπει a>\dfrac{3}{4}

Πρόκειται για αντίστροφη εξίσωση. Αν διαιρέσουμε με x^2\neq 0 (Το 0 δεν είναι λύση της εξίσωσης) και θέσουμε x+\dfrac{1}{x}=u τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή u^2+2au-1=0 η οποία έχει πάντοτε 2 πραγματικές και άνισες λύσεις τις

u=\sqrt{a^2+1}-a και u=-\sqrt{a^2+1}-a

Επειδή οι ρίζες θέλουμε να είναι διακεκριμένες και αρνητικές άρα x+\dfrac{1}{x}<0 και ως γνωστόν επειδή x+\dfrac{1}{x}\leq -2 και

\sqrt{a^2+1}-a>-2 για κάθε a\in\mathbb{R}, άρα πρέπει x+\dfrac{1}{x}=-a-\sqrt{a^2+1}. Όμως με σταθερό u, η εξίσωση x+\dfrac{1}{x}=u γράφεται ισοδύναμα x^2-ux+1=0 με διακρίνουσα u^2-4 η οποία για u<-2 (αφού πρέπει u<0) έχει 2 άνισες (και προφανώς αρνητικές) λύσεις.

Άρα τελικά η αρχική εξίσωση έχει 2 αρνητικές και άνισες λύσεις αν και μόνο αν -a-\sqrt{a^2+1}<-2 που δίνει a>\dfrac{3}{4}.

Αλέξανδρος