Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιούλ 17, 2019 2:32 pm

Έστω a,b δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε:
\left | a-1 \right |+\left | b-1 \right |=\left | a \right |+\left | b \right |=\left | a+1 \right |+\left | b+1 \right |.
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του \left | a-b \right |


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 470
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιούλ 17, 2019 3:09 pm

chris_gatos έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 2:32 pm
Έστω a,b δύο διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε:
\left | a-1 \right |+\left | b-1 \right |=\left | a \right |+\left | b \right |=\left | a+1 \right |+\left | b+1 \right |.
Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του \left | a-b \right |
Βάζοντας στην ευθεία των πραγματικών τους -1,0,1 βλέπουμε ότι η μόνη περίπτωση για να ισχύει η δοσμένη είναι

a\geq 1 και b\leq -1 ή ανάποδα. Επομένως \min(|a-b|)=2 για a=1,b=-1 η ανάποδα.

Σημείωση: Στην εκφώνηση το ''διαφορετικοί πραγματικοί'' μπορεί να παραλειφθεί γιατί είναι άμεσο από τη σχέση που

δίνεται ότι αν υποθέσουμε ότι είναι ίσοι οδηγούμαστε σε άτοπο (δεν ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο ισότητες).


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4388
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιούλ 17, 2019 3:57 pm

Καλησπέρα σε όλους. Φαντάζομαι κάτι παρόμοιο (ή το ίδιο) με την παρακάτω λύση περιγράφει ο Λάμπρος στην απάντησή του.


Εύκολα δείχνουμε ότι είναι αδύνατο να είναι \left( {a \ge 0\;\; \wedge \;b \ge 0} \right)\;\;\; \vee \;\;\left( {a \le 0\;\; \wedge \;\;b \le 0} \right)


17-07-2019 Άλγεβρα.jpg
17-07-2019 Άλγεβρα.jpg (11.56 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Έστω A(a), B(b), M(1), N(-1), O(0) οι εικόνες των αριθμών.

Έστω b\ge 0, a\le 0.

Τότε AN+BN=AO+BO άρα AN+BO+NO=AO+BO ή AN+NO=AO, άρα a \le -1.

Επίσης AM+BM=AO+BO άρα AO+MO+BM=AO+BO ή MO+BM=BO, άρα b \ge 1.

Οπότε min |a-b| = 2.

Ομοίως αν a\ge 0, b\le 0.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Ιούλ 23, 2019 12:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3917
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm

Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι a,b είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2580
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm

cretanman έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι a,b είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:04 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm
cretanman έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι a,b είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί
Πράγματι. Στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852 δεν χρειαζόμαστε ο X να είναι χώρος εσωτερικού γινομένου. Μας αρκεί να έχει norm. Αν έχουμε λοιπόν την παραπάνω σχεση σους μιγαδικούς ουσιαστικά έχουμε μια σχέση στο \mathbb{R}^2 αφού ο πολλαπλασιασμός δεν εμφανίζεται πουθενά. Επομένως τα a,b πρέπει να είναι συγγραμμικά με το 1 θεωρούμενα όλα σαν διανύσματα. 'Αρα πρόκειται για πραγματικούς και αναγόμαστε στο προηγούμενο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2580
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:43 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:04 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm
cretanman έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι a,b είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί
Πράγματι. Στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852 δεν χρειαζόμαστε ο X να είναι χώρος εσωτερικού γινομένου. Μας αρκεί να έχει norm. Αν έχουμε λοιπόν την παραπάνω σχεση σους μιγαδικούς ουσιαστικά έχουμε μια σχέση στο \mathbb{R}^2 αφού ο πολλαπλασιασμός δεν εμφανίζεται πουθενά. Επομένως τα a,b πρέπει να είναι συγγραμμικά με το 1 θεωρούμενα όλα σαν διανύσματα. 'Αρα πρόκειται για πραγματικούς και αναγόμαστε στο προηγούμενο.
Γεια σου Νίκο.
Στους Μιγαδικούς ισχύει γιατί ισχύει στο Επίπεδο.
Όταν έχουμε χώρο με νόρμα δεν ισχύει.
Δες το παράδειγμα που θα δώσω στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852


Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστη τιμή απόλυτης διαφοράς

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:53 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:43 pm
nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 21, 2019 9:04 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 10:16 pm
cretanman έγραψε:
Τετ Ιούλ 17, 2019 9:46 pm
Ωραίο ερώτημα! Τι γίνεται εάν οι a,b είναι μιγαδικοί;

Αλέξανδρος
Την ίδια σκέψη είχα και εγώ το πρωί.
Το κοίταξα.Νομίζω
αν είναι μιγαδικοί μπορούμε να αποδείξουμε ότι αναγκαστικά θα είναι πραγματικοί
Πράγματι. Στην https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852 δεν χρειαζόμαστε ο X να είναι χώρος εσωτερικού γινομένου. Μας αρκεί να έχει norm. Αν έχουμε λοιπόν την παραπάνω σχεση σους μιγαδικούς ουσιαστικά έχουμε μια σχέση στο \mathbb{R}^2 αφού ο πολλαπλασιασμός δεν εμφανίζεται πουθενά. Επομένως τα a,b πρέπει να είναι συγγραμμικά με το 1 θεωρούμενα όλα σαν διανύσματα. 'Αρα πρόκειται για πραγματικούς και αναγόμαστε στο προηγούμενο.
Γεια σου Νίκο.
Στους Μιγαδικούς ισχύει γιατί ισχύει στο Επίπεδο.
Όταν έχουμε χώρο με νόρμα δεν ισχύει.
Δες το παράδειγμα που θα δώσω στο
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 11&t=64852
Σταύρο έχεις δίκιο.
Η norm δεν αρκεί. Χρειαζόμαστε το εσωτερικό γινόμενο για να έχουμε την γραμμική ισομετρία. Αντιπαράδειγμα η συνήθης norm και η sup-norm στο επίπεδεο.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες