Προβλέψιμο αποτέλεσμα, όμορφη διαδικασία!

#1

Έστω $m\geq 2$ φυσικός αριθμός. Να βρείτε όλες εκείνες τις φραγμένες συναρτήσεις $f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$
οι οποίες έχουν την ιδιότητα:
$f(x)=\frac{1}{m^2}\left \{ f(0)+f\left (\frac{x}{m} \right )+f\left (\frac{2x}{m} \right )+...+f\left (\frac{\left (m-1 \right )x}{m} \right ) \right \}$
για κάθε $x\epsilon \left [ 0,1 \right ]$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 17, 2019 1:30 pm
Έστω $m\geq 2$ φυσικός αριθμός. Να βρείτε όλες εκείνες τις φραγμένες συναρτήσεις $f:\left [ 0,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$
οι οποίες έχουν την ιδιότητα:
$f(x)=\frac{1}{m^2}\left \{ f(0)+f\left (\frac{x}{m} \right )+f\left (\frac{2x}{m} \right )+...+f\left (\frac{\left (m-1 \right )x}{m} \right ) \right \}$
για κάθε $x\epsilon \left [ 0,1 \right ]$ .

Εστω $M=sup\left \{ f(x):x\in [0,1] \right \}$

Από την σχέση προκύπτει ότι
$f(x)\leq \frac{M}{m}$
Αρα
$M\leq \frac{M}{m}$ οπότε $M\leq 0$

Παίρνοντας το $d=inf\left \{ f(x):x\in [0,1] \right \}$

και κάνοντας τα ίδια προκύπτει $d\geq 0$

Αρα M=d=0

οπότε $f\equiv 0$

Προβλέψιμο αποτέλεσμα, όμορφη διαδικασία!

Προβλέψιμο αποτέλεσμα, όμορφη διαδικασία!

Re: Προβλέψιμο αποτέλεσμα, όμορφη διαδικασία!

Μέλη σε σύνδεση