Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

#1

Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω A,B

, $n\times n$ πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
$A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}$ και επιπλέον ο πίνακας

είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
$A^{4}=B^{4}=I_n.$

Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω , $n\times n$ πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
$A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}=I_n$ και επιπλέον ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
$A^{4}=B^{4}=I_n.$

Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!

Γεια σου Χρήστο.

Κάτι δεν πάει καλά.

Από $A^{2}=B^{2}=I_n$

τετριμμένα ισχύει

$A^{4}=B^{4}=I_n.$

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 2:19 pm

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω , $n\times n$ πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
$A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}=I_n$ και επιπλέον ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
$A^{4}=B^{4}=I_n.$

Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!
Γεια σου Χρήστο.

Κάτι δεν πάει καλά.

Από $A^{2}=B^{2}=I_n$

τετριμμένα ισχύει

$A^{4}=B^{4}=I_n.$

Σταύρο γειά χαρά!
Έχεις δίκιο διορθώνω την αρχική εκφώνηση...
Συγνώμη για την απροσεξία και την ταλαιπωρία!

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Απλά διαβάζοντας βρήκα την παρακάτω άσκηση η οποία μου άρεσε και σας την προτείνω.
Έστω , $n\times n$ πίνακες που ικανοποιούν τη σχέση:
$A^{2}=B^{2}=(AB)^{2}$ και επιπλέον ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι ισχύει:
$A^{4}=B^{4}=I_n.$

Από $(\det B)^2 = \det (B^2)= \det (A^2) = (\det A)^2\ne 0$ έπεται ότι και ο

είναι αντιστρέψιμος. Οι αρχικές τώρα δίνουν $A=BAB, \, B=ABA \, (*)$ .

Άρα ABAB=A^2=(BAB)(BAB)=BA(B^2)AB=BA(A^2)AB= BA^4B

, οπότε από τις δύο ακριανές ABA= BA^4

. Άρα από τις (*)

,

από όπου

. Και λοιπά.

#5

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 19, 2019 1:16 pm
Το ονοματεπώνυμο στο οποίο ανήκει η άσκηση...αργότερα!

Χρήστο, με τρώει η περιέργεια.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Πάντως η απόδειξη του Μιχάλη δουλεύει
σε οποιοδήποτε σύνολο με μια προσετεριστική πράξη
για την οποία υπάρχει ουδέτερο και ισχύει δεξιά-αριστερά
ο νομός της διαγραφής.
Με αυτή την έννοια η άσκηση έχει παραπλανητική εκφώνηση.
(Τουλάχιστον για αυτούς που γνωρίζουν στοιχειώδη θεωρία Ομάδων.
Δεν χρειάζεται τίποτα από πίνακες)

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 28, 2019 12:50 pm
Χρήστο, με τρώει η περιέργεια.

Πριν λίγο καιρό βρέθηκα δια ζώσης με τον Μιχάλη σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ομιλία του στο Μαθηματικό Αθήνας
για ξεχασμένα και χαμένα θεωρήματα της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας όπου με ρώτησε ακριβώς για αυτό.
Το είχα ξεχάσει και τώρα είναι ευκαιρία.
Είναι μια άσκηση που είχε προταθεί από τον Θάνο Μάγκο στο Mathematical Reflections.
Συγνώμη για την αμέλεια.

#8

chris_gatos έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 16, 2019 10:43 pm
Πριν λίγο καιρό βρέθηκα δια ζώσης με τον Μιχάλη σε μια πολύ ενδιαφέρουσα ομιλία του στο Μαθηματικό Αθήνας
για ξεχασμένα και χαμένα θεωρήματα της Αρχαίας Ελληνικής Γεωμετρίας όπου με ρώτησε ακριβώς για αυτό.
Το είχα ξεχάσει και τώρα είναι ευκαιρία.
Είναι μια άσκηση που είχε προταθεί από τον Θάνο Μάγκο στο Mathematical Reflections.
Συγνώμη για την αμέλεια.

Χρήστο, ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.

Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Re: Μια με Γραμμική Άλγεβρα και...ονοματεπώνυμο

Μέλη σε σύνδεση