Σελίδα 1 από 1

Μια εξίσωση.

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 09, 2019 9:25 pm
από chris_gatos
Να λύσετε την εξίσωση: 5^{x}-3^{x}=8\sqrt{2x} για x\ge 0.

Re: Μια εξίσωση.

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 09, 2019 10:18 pm
από matha
Η συνάρτηση \displaystyle{5^x-3^x-8\sqrt{2x}, x\geq 0} είναι κυρτή, οπότε έχει το πολύ δύο ρίζες. Αυτές είναι οι \displaystyle{0,2.}

Re: Μια εξίσωση.

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 09, 2019 10:28 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
chris_gatos έγραψε:
Πέμ Μάιος 09, 2019 9:25 pm
Να λύσετε την εξίσωση: 5^{x}-3^{x}=8\sqrt{2x} για x\ge 0.
Θέτουμε f(x)=5^{x}-3^{x}-8\sqrt{2x}
Είναι για x>0

f'(x)=5^{x}\ln 5-3^{x}\ln3-4\sqrt{2}x^{-\frac{1}{2}}

και

f''(x)=5^{x}(\ln 5)^{2}-3^{x}(\ln3)^{2}+2\sqrt{2}x^{-\frac{3}{2}}

Επειδή 5^{x}>3^{x} για x>0

είναι για x>0 f''(x)>0

Αρα η f είναι κυρτή στο [0,\infty )

Κατά τα γνωστά η εξίσωση f(x)=0 έχει το πολύ δύο ρίζες στο [0,\infty ).

Προφανείς ρίζες τα 0και 2.

Αρα τελικά οι ρίζες είναι αυτές.

Συμπλήρωμα.
Βλέπω με πρόλαβε ο Θάνος.
Γράφοντας μόνο την ουσία βγήκε πρώτος.