Σελίδα 1 από 1

Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 24, 2019 12:01 am
από chris_gatos
Έστω \displaystyle x,y δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει \displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}.
Να αποδείξετε ότι:
\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 24, 2019 11:08 am
από matha
Η ζητούμενη γράφεται ως \displaystyle{x^2y\leq 1.}

Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι \displaystyle{y>\frac{1}{x^2}.}

Από Cauchy-Schwarz έχουμε

\displaystyle{x^2+y^2+x\geq x^4+y^4+x^3\geq \frac{(x^2+y^2+x)^2}{2+\frac{1}{x}}\implies 2+\frac{1}{x}\geq x^2+y^2+x.}

Τότε, λόγω της υπόθεσης, έχουμε

\displaystyle{2+\frac{1}{x}> x^2+\frac{1}{x^4}+x\implies x^6+x^5-2x^4-x^3+1< 0\implies (x-1)^2(x+1)(x^3+2x^2+x+1)<0,}

άτοπο!

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 24, 2019 3:12 pm
από cretanman
Και διαφορετικά:

Η ζητούμενη γράφεται:

\dfrac{1-x^4}{x^2}+\dfrac{1-y^2}{y}\geq 0

Ορίζουμε f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}, \ x>0 η οποία είναι κυρτή (εύκολο), οπότε από την ανισότητα Jensen παίρνουμε:

\dfrac{1-x^4}{x^2}+\dfrac{1-y^2}{y} = f(x^2)+f(y)\geq 2f\left(\dfrac{x^2+y}{2}\right) = \dfrac{4-(x^2+y)^2}{x^2+y}

οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι x^2+y\leq 2 \Leftrightarrow 4-2x^2-2y \geq 0.

Λόγω της δοσμένης σχέσης παίρνουμε ότι

\begin{aligned}4-2x^2-2y-(x^2+y^2+x-x^4-y^4-x^3) &= (x^4+x^3-3x^2-x+2)+(y^4-y^2-2y+2) \\ &= (x-1)^2(x^2+3x+2)+(y-1)^2(y^2+2y+2)\geq 0\end{aligned}

άρα 4-2x^2-2y \geq x^2+y^2+x-x^4-y^4-x^3 \geq 0 και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 24, 2019 4:21 pm
από dement
Και διαφορετικά:

Θα αποδείξουμε το ισχυρότερο \displaystyle \frac{2x^2+y^2}{3} \leq 1 (με ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε το ζητούμενο x^2y \leq 1).

Αν x\leq 1, y \leq 1 προφανώς ισχύει.

Αν x \geq 1 τότε, για να ισχύει η υπόθεση, πρέπει να έχουμε y \leq 1 και έτσι ισχύουν οι x^2 \geq x \geq y^2 μαζί με την x^2 \geq x^2 \geq y^2.

Αν y \geq 1, x \leq 1 τότε ισχύουν οι y^2 \geq x \geq x^2 μαζί με την y^2 \geq x^2 \geq x^2.

Και στις δύο περιπτώσεις με Chebyshev έχουμε \displaystyle x^4 + y^4 + x^3 \geq \frac{(x^2+y^2+x)(2x^2+y^2)}{3} το οποίο, μαζί με την υπόθεση, μας δίνει το ζητούμενο.