Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Έστω δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει .
Να αποδείξετε ότι:
Να αποδείξετε ότι:
Χρήστος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Η ζητούμενη γράφεται ως
Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι
Από Cauchy-Schwarz έχουμε
Τότε, λόγω της υπόθεσης, έχουμε
άτοπο!
Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι
Από Cauchy-Schwarz έχουμε
Τότε, λόγω της υπόθεσης, έχουμε
άτοπο!
Μάγκος Θάνος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Και διαφορετικά:
Η ζητούμενη γράφεται:
Ορίζουμε η οποία είναι κυρτή (εύκολο), οπότε από την ανισότητα Jensen παίρνουμε:
οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Λόγω της δοσμένης σχέσης παίρνουμε ότι
άρα και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αλέξανδρος
Η ζητούμενη γράφεται:
Ορίζουμε η οποία είναι κυρτή (εύκολο), οπότε από την ανισότητα Jensen παίρνουμε:
οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Λόγω της δοσμένης σχέσης παίρνουμε ότι
άρα και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)
Και διαφορετικά:
Θα αποδείξουμε το ισχυρότερο (με ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε το ζητούμενο ).
Αν προφανώς ισχύει.
Αν τότε, για να ισχύει η υπόθεση, πρέπει να έχουμε και έτσι ισχύουν οι μαζί με την .
Αν τότε ισχύουν οι μαζί με την .
Και στις δύο περιπτώσεις με Chebyshev έχουμε το οποίο, μαζί με την υπόθεση, μας δίνει το ζητούμενο.
Θα αποδείξουμε το ισχυρότερο (με ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε το ζητούμενο ).
Αν προφανώς ισχύει.
Αν τότε, για να ισχύει η υπόθεση, πρέπει να έχουμε και έτσι ισχύουν οι μαζί με την .
Αν τότε ισχύουν οι μαζί με την .
Και στις δύο περιπτώσεις με Chebyshev έχουμε το οποίο, μαζί με την υπόθεση, μας δίνει το ζητούμενο.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες