Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

#1

Έστω $\displaystyle x,y$ δύο θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει $\displaystyle {x^2} + {y^2} + x \ge {x^4} + {y^4} + {x^3}$ .
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{{1 - {x^4}}}{{{x^2}}} \ge \frac{{{y^2} - 1}}{y}$

#2

Η ζητούμενη γράφεται ως $\displaystyle{x^2y\leq 1.}$

Υποθέτουμε ότι δεν ισχύει αυτή, οπότε θα είναι $\displaystyle{y>\frac{1}{x^2}.}$

Από Cauchy-Schwarz έχουμε

$\displaystyle{x^2+y^2+x\geq x^4+y^4+x^3\geq \frac{(x^2+y^2+x)^2}{2+\frac{1}{x}}\implies 2+\frac{1}{x}\geq x^2+y^2+x.}$

Τότε, λόγω της υπόθεσης, έχουμε

$\displaystyle{2+\frac{1}{x}> x^2+\frac{1}{x^4}+x\implies x^6+x^5-2x^4-x^3+1< 0\implies (x-1)^2(x+1)(x^3+2x^2+x+1)<0,}$

άτοπο!

#3

Και διαφορετικά:

Η ζητούμενη γράφεται:

$\dfrac{1-x^4}{x^2}+\dfrac{1-y^2}{y}\geq 0$

Ορίζουμε $f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}, \ x>0$ η οποία είναι κυρτή (εύκολο), οπότε από την ανισότητα Jensen παίρνουμε:

$\dfrac{1-x^4}{x^2}+\dfrac{1-y^2}{y} = f(x^2)+f(y)\geq 2f\left(\dfrac{x^2+y}{2}\right) = \dfrac{4-(x^2+y)^2}{x^2+y}$

οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι $x^2+y\leq 2 \Leftrightarrow 4-2x^2-2y \geq 0$ .

Λόγω της δοσμένης σχέσης παίρνουμε ότι

$\begin{aligned}4-2x^2-2y-(x^2+y^2+x-x^4-y^4-x^3) &= (x^4+x^3-3x^2-x+2)+(y^4-y^2-2y+2) \\ &= (x-1)^2(x^2+3x+2)+(y-1)^2(y^2+2y+2)\geq 0\end{aligned}$

άρα $4-2x^2-2y \geq x^2+y^2+x-x^4-y^4-x^3 \geq 0$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος

dement · #4

Και διαφορετικά:

Θα αποδείξουμε το ισχυρότερο $\displaystyle \frac{2x^2+y^2}{3} \leq 1$ (με ΑΜ-ΓΜ παίρνουμε το ζητούμενο $x^2y \leq 1$ ).

Αν $x\leq 1, y \leq 1$ προφανώς ισχύει.

Αν $x \geq 1$ τότε, για να ισχύει η υπόθεση, πρέπει να έχουμε $y \leq 1$ και έτσι ισχύουν οι $x^2 \geq x \geq y^2$ μαζί με την $x^2 \geq x^2 \geq y^2$ .

Αν $y \geq 1, x \leq 1$ τότε ισχύουν οι $y^2 \geq x \geq x^2$ μαζί με την $y^2 \geq x^2 \geq x^2$ .

Και στις δύο περιπτώσεις με Chebyshev έχουμε $\displaystyle x^4 + y^4 + x^3 \geq \frac{(x^2+y^2+x)(2x^2+y^2)}{3}$ το οποίο, μαζί με την υπόθεση, μας δίνει το ζητούμενο.

Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Re: Άνισότητα με συνθήκη(όχι και τόσο συνηθισμένη)

Μέλη σε σύνδεση