Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Απρ 22, 2019 10:18 pm

Έστω \displaystyle P(x) ένα πολυώνυμο με \displaystyle P(1) = 1 και
\displaystyle \frac{{P(2x)}}{{P(x + 1)}} = 8 - \frac{{56}}{{x + 7}}
για κάθε \displaystyle x για το οποίο έχει νόημα η ισότητα.
Να βρείτε το \displaystyle P( - 1).


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6170
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Απρ 23, 2019 12:25 am

Η σχέση γράφεται

\displaystyle{(x+7)P(2x)=8xP(x+1)}

και επειδή ισχύει για άπειρες τιμές του \displaystyle{x}, ισχύει για κάθε \displaystyle{x.}

Θέτοντας \displaystyle{x=0,x=-7, x=-1} λαμβάνουμε \displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0.}

Άρα \displaystyle{P(x)=x(x+2)(x+6)Q(x).}

Τότε η σχέση γράφεται

\displaystyle{Q(2x)\equiv Q(x+1).}

Από εδώ προκύπτει ότι το \displaystyle{Q} είναι σταθερό, αφού διαφορετικά είναι \displaystyle{Q(x)=a_n x^n+\cdots } και λαμβάνουμε

\displaystyle{a_n 2^n x^n +\cdots \equiv a_n x^n +\cdots ,} άτοπο.

Άρα \displaystyle{Q(x)\equiv c,} οπότε \displaystyle{P(x)=cx(x+2)(x+6).}

Από την συνθήκη \displaystyle{P(1)=1} βρίσκουμε \displaystyle{c=\frac{1}{21},} οπότε \displaystyle{P(-1)=-\frac{5}{21}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3917
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Απρ 23, 2019 12:46 am

Λόγω της δοσμένης σχέσης πρέπει είναι (x+7)P(2x)=8xP(x+1) \ \ (1) απ' όπου το P(x) δεν είναι σταθερό πολυώνυμο κι έτσι αν θέσουμε P(x)=a_nχ^n+\cdots+a_0, \ a_n\neq 0 τότε εξισώνοντας τους μεγιστοβάθμιους συντελεστές των 2 μελών της (1), παίρνουμε n=3.

Αν λοιπόν P(x)=ax^3+bx^2+cx+d τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το πολυώνυμο βρίσκοντας με τη βοήθεια του P(1), ακόμη 3 σχέσεις από την αρχική.

Συγκεκριμένα για x=0 παίρνουμε P(0)=0, για x=\dfrac{1}{2} παίρνουμε P\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{15}{8} και τέλος για x=\dfrac{3}{4} παίρνουμε P\left(\dfrac{7}{4}\right)=\dfrac{155}{64}. Από το σύστημα που προκύπτει βρίσκουμε a=\dfrac{1}{21}, \ b=\dfrac{8}{21}, \ c=\dfrac{4}{7} κι έτσι P(x)=\dfrac{1}{21}x^3+\dfrac{8}{21}x^2+\dfrac{4}{7}x απ' όπου P(-1)=-\dfrac{5}{21}.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11347
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Προσδιορισμός τιμής πολυωνύμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 23, 2019 7:41 am

Κλέβοντας ιδέες από τις δύο προηγούμενες λύσεις, ας δούμε και μία λύση ενδιάμεση των δύο. Ξανατονίζω, δεν λέω απολύτως τίποτα νέο:

Είναι (x+7)P(2x)=8xP(x+1) οπότε (όπως ο Αλέξανδρος) εξισώνοντας τους μεγιστοβάθμιους συντελεστές των δύο μελών βρίσκουμε ότι το P είναι βαθμού 3.

Θέτοντας (όπως ο Θάνος) \displaystyle{x=0,x=-7, x=-1} παίρνουμε \displaystyle{P(0)=P(-6)=P(-2)=0} που σημαίνει P(x)=cx(x+2)(x+6) για κάποια σταθερά c. Από την συνθήκη P(1)=1 έπεται c=\dfrac {1}{21} ή αλλιώς \boxed {P(x)=\frac {1}{21}x(x+2)(x+6)} από όπου P(-1)=-\dfrac{5}{21}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης