Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#1

Έστω $\displaystyle a,b,c$ οι ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle P(x) = {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6$ οι οποίες είναι μήκη πλευρών κάποιου τριγώνου.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου.

Tolaso J Kos · #2

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 11:32 pm
Έστω $\displaystyle a,b,c$ οι ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle P(x) = {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6$ οι οποίες είναι μήκη πλευρών κάποιου τριγώνου.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου.

Παρατηρούμε ότι η x=3

είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου οπότε εκτελώντας την Ευκλείδια διαίρεση έχουμε:

$\displaystyle{\begin{aligned} x^3-7x^2+14x-6=0 &\Leftrightarrow \left ( x-3 \right ) \left ( x^2-4x+2 \right ) =0\\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x &= &3 \\ x&= &2-\sqrt{2} \\ x& = &2+\sqrt{2} \end{matrix}\right. \end{aligned}}$
Από τον τύπο του Ήρωνα είναι:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{A} &= \sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )} \\ &\!\!\!\overset{s=4}{=\! =\!} \sqrt{4\left ( 4-3 \right )\left ( 4-\left (2-\sqrt{2} \right ) \right )\left ( 4-\left (2+\sqrt{2} \right ) \right )}\\ &=\sqrt{4 \cdot 1 \cdot \left ( 2+\sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 2-\sqrt{2} \right )} \\ &=2\sqrt{\left ( 2+\sqrt{2} \right )\left ( 2-\sqrt{2} \right )} \\ &= 2\sqrt{2} \end{aligned}}$

Αυτά Χρήστο. Καλό βράδυ!

#3

Αυτά Χρήστο. Καλό βράδυ!

Καλό βράδυ Τόλη. Αν θέλεις διορθώνεις λίγο το s γιατί είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Tolaso J Kos · #4

Whoops... Είπα 3+2+2=8

οπότε διά δύο

. Με βόλεψε! Θα το διορθώσω το πρωί τώρα, διότι έκλεισα το PC.

#5

chris_gatos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2019 11:32 pm
Έστω $\displaystyle a,b,c$ οι ρίζες του πολυωνύμου $\displaystyle P(x) = {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6$ οι οποίες είναι μήκη πλευρών κάποιου τριγώνου.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου.

O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Ο γεικότερος τρόπος είναι να πούμε ότι το εμβαδόν είναι $\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( a+b-c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) }$ και να εκφράσουμε το υπόρριζο, που είναι συμμετρική παράσταση των ριζών a, b, c

μέσω των στοιχειωδών συμμετρικών παραστάσεων S_1

,

τους που θα τις βρούμε από τις σχέσεις του Vieta.
Είναι $a+b+c=S_{1}$
Επίσης:
$\left( a+b-c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) =\left( \underset{Q}{\underbrace{a^{2}b+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}b+c^{2}a+a^{2}c}}\right) -2abc-\left( \underset{T}{\underbrace{a^{3}+b^{3}+\allowbreak c^{3}}}\right)$
Eίναι:
$T=\left( a+b+c\right) \left( \left( a+b+c\right) ^{2}-2\left( ab+bc+ca\right) \right) +3abc=S_{1}\left( S_{1}^{2}-2S_{2}\right) +3S_{3}=\allowbreak S_{1}^{3}-2S_{1}S_{2}+3S_{3}$
και από την
$\left( a+b+c\right) ^{3}=\allowbreak a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3b^{2}a+3bc^{2}+\allowbreak 3b^{2}c+3c^{2}a+3a^{2}c+6acb$
βρίσκουμε ότι $S_{1}^{3}=\allowbreak S_{1}^{3}-2S_{1}S_{2}+3S_{3}+3Q+6S_{3}$
οπότε
$Q=\frac{2}{3}S_{1}S_{2}-3S_{3}$
Εδώ $S_{1}=7,S_{2}=14,S_{3}=6$
Νομίζω ότι οι αριθμητικές πράξεις μπορούν να παραλειφθούν.

Tolaso J Kos · #6

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Γενικά , πρώτα πάντα ελέγχω αν βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου σε τέτοια θέματα. Αν όχι, μετά πάω στα Vieta.

#7

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 9:59 am

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Γενικά , πρώτα πάντα ελέγχω αν βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου σε τέτοια θέματα. Αν όχι, μετά πάω στα Vieta.

Και πολύ σωστά Τόλη διότι με την εύρεση των ριζών έχουμε μια γρήγορη λύση ενώ με τις σχέσεις Vieta έχουμε αρκετές πράξεις.

#8

Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά, μετά την εύρεση των ριζών.

Τόλης έφα:
Παρατηρούμε ότι η x=3

είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου οπότε εκτελώντας την Ευκλείδεια διαίρεση έχουμε:

$\displaystyle {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x& = &3\\ x& = &{2 - \sqrt 2 }\\ x& = &{2 + \sqrt 2 } \end{array}} \right.$

Άλλη λύση:

Έστω a = 3

οπότε $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2} - {3^2}}}{{2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{3}{4}$ άρα $\displaystyle \eta \mu {\rm A} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$ , αφού είναι οξεία γωνία, εφόσον η πλευρά

δεν είναι η μεγαλύτερη του τριγώνου.

Οπότε $\displaystyle {\rm E} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

$\sqrt{\frac{7}{2}P(\frac{7}{2})}$

γιατί;

Tolaso J Kos · #10

Σωστός Γιώργο. Είχα ξεχάσει το τύπο του εμβαδού με τη τριγωνομετρία το οποίο έχουμε δει εδώ.

Tolaso J Kos · #11

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 10:35 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 9:59 am

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Γενικά , πρώτα πάντα ελέγχω αν βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου σε τέτοια θέματα. Αν όχι, μετά πάω στα Vieta.
Και πολύ σωστά Τόλη διότι με την εύρεση των ριζών έχουμε μια γρήγορη λύση ενώ με τις σχέσεις Vieta έχουμε αρκετές πράξεις.

Δυστυχώς όμως, λίγες φορές βγαίνει το πολυώνυμο να έχει στρωτές ρίζες.

#12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 12:12 pm
$\sqrt{\frac{7}{2}P(\frac{7}{2})}$

γιατί;

Διότι πολύ απλά αν a,b,c

οι ρίζες του P(x)

τότε

άρα αν

η ημιπερίμετρος του τριγώνου παίρνουμε P(s)=(s-a)(s-b)(s-c)

και η ημιπερίμετρος είναι ίση (από τύπους Vieta) με $s=\dfrac{7}{2}$ .

Άρα $E=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\dfrac{7}{2}P\left(\dfrac{7}{2}\right)}$

Αλέξανδρος

#13

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 12:15 pm
Σωστός Γιώργο. Είχα ξεχάσει το τύπο του εμβαδού με τη τριγωνομετρία το οποίο έχουμε δει εδώ.

Tόλη, δεν τον θυμόμουν αυτόν τον τύπο, που δε νομίζω να τον έχω χρησιμοποιήσει κάπου.

Χρησιμοποίησα τον κλασικό τύπο: $\displaystyle E=\frac{1}{2}bc \eta \mu A$ , επειδή βόλευε στη συγκεκριμένη περίπτωση.

Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση