Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Κυρ Απρ 21, 2019 11:32 pm

Έστω \displaystyle a,b,c οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle P(x) = {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6 οι οποίες είναι μήκη πλευρών κάποιου τριγώνου.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 22, 2019 12:14 am

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 11:32 pm
Έστω \displaystyle a,b,c οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle P(x) = {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6 οι οποίες είναι μήκη πλευρών κάποιου τριγώνου.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου.
Παρατηρούμε ότι η x=3 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου οπότε εκτελώντας την Ευκλείδια διαίρεση έχουμε:


\displaystyle{\begin{aligned} 
x^3-7x^2+14x-6=0 &\Leftrightarrow  \left ( x-3 \right ) \left ( x^2-4x+2 \right ) =0\\  
 &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
x &=  &3 \\  
 x&= &2-\sqrt{2} \\  
 x& = &2+\sqrt{2}  
\end{matrix}\right.  
\end{aligned}}
Από τον τύπο του Ήρωνα είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{A} &= \sqrt{s\left ( s-a \right )\left ( s-b \right )\left ( s-c \right )} \\  
 &\!\!\!\overset{s=4}{=\! =\!} \sqrt{4\left ( 4-3 \right )\left ( 4-\left (2-\sqrt{2}  \right ) \right )\left ( 4-\left (2+\sqrt{2}  \right ) \right )}\\  
 &=\sqrt{4 \cdot 1 \cdot \left ( 2+\sqrt{2} \right ) \cdot \left ( 2-\sqrt{2} \right )} \\  
 &=2\sqrt{\left ( 2+\sqrt{2} \right )\left ( 2-\sqrt{2} \right )} \\  
 &= 2\sqrt{2} 
\end{aligned}}

Αυτά Χρήστο. Καλό βράδυ!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Δευ Απρ 22, 2019 12:19 am

Αυτά Χρήστο. Καλό βράδυ!


Καλό βράδυ Τόλη. Αν θέλεις διορθώνεις λίγο το s γιατί είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.


Χρήστος Κυριαζής
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 22, 2019 12:23 am

Whoops... Είπα 3+2+2=8 οπότε διά δύο 4. Με βόλεψε! Θα το διορθώσω το πρωί τώρα, διότι έκλεισα το PC.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am

chris_gatos έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 11:32 pm
Έστω \displaystyle a,b,c οι ρίζες του πολυωνύμου \displaystyle P(x) = {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6 οι οποίες είναι μήκη πλευρών κάποιου τριγώνου.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτού του τριγώνου.
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Ο γεικότερος τρόπος είναι να πούμε ότι το εμβαδόν είναι \frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( a+b-c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) } και να εκφράσουμε το υπόρριζο, που είναι συμμετρική παράσταση των ριζών a, b, c μέσω των στοιχειωδών συμμετρικών παραστάσεων S_1, S_2, S_3 τους που θα τις βρούμε από τις σχέσεις του Vieta.
Είναι a+b+c=S_{1}
Επίσης:
\left( a+b-c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) =\left( \underset{Q}{\underbrace{a^{2}b+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}b+c^{2}a+a^{2}c}}\right) -2abc-\left( \underset{T}{\underbrace{a^{3}+b^{3}+\allowbreak c^{3}}}\right)
Eίναι:
T=\left( a+b+c\right) \left( \left( a+b+c\right) ^{2}-2\left( ab+bc+ca\right) \right) +3abc=S_{1}\left( S_{1}^{2}-2S_{2}\right) +3S_{3}=\allowbreak S_{1}^{3}-2S_{1}S_{2}+3S_{3}
και από την
\left( a+b+c\right) ^{3}=\allowbreak a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3b^{2}a+3bc^{2}+\allowbreak 3b^{2}c+3c^{2}a+3a^{2}c+6acb
βρίσκουμε ότι S_{1}^{3}=\allowbreak S_{1}^{3}-2S_{1}S_{2}+3S_{3}+3Q+6S_{3}
οπότε
Q=\frac{2}{3}S_{1}S_{2}-3S_{3}
Εδώ S_{1}=7,S_{2}=14,S_{3}=6
Νομίζω ότι οι αριθμητικές πράξεις μπορούν να παραλειφθούν.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 22, 2019 9:59 am

nsmavrogiannis έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Γενικά , πρώτα πάντα ελέγχω αν βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου σε τέτοια θέματα. Αν όχι, μετά πάω στα Vieta.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4244
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Δευ Απρ 22, 2019 10:35 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 9:59 am
nsmavrogiannis έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Γενικά , πρώτα πάντα ελέγχω αν βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου σε τέτοια θέματα. Αν όχι, μετά πάω στα Vieta.
Και πολύ σωστά Τόλη διότι με την εύρεση των ριζών έχουμε μια γρήγορη λύση ενώ με τις σχέσεις Vieta έχουμε αρκετές πράξεις.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 22, 2019 10:50 am

Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά, μετά την εύρεση των ριζών.

Τόλης έφα:
Παρατηρούμε ότι η x=3 είναι προφανής ρίζα του πολυωνύμου οπότε εκτελώντας την Ευκλείδεια διαίρεση έχουμε:


 \displaystyle {x^3} - 7{x^2} + 14x - 6 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4x + 2} \right) = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
x& = &3\\ 
x& = &{2 - \sqrt 2 }\\ 
x& = &{2 + \sqrt 2 } 
\end{array}} \right.

Άλλη λύση:

Έστω a = 3 οπότε  \displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2} - {3^2}}}{{2\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}} = \frac{3}{4} άρα  \displaystyle \eta \mu {\rm A} = \frac{{\sqrt 7 }}{4} , αφού είναι οξεία γωνία, εφόσον η πλευρά a δεν είναι η μεγαλύτερη του τριγώνου.

Οπότε  \displaystyle {\rm E} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{4} .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 22, 2019 12:12 pm

\sqrt{\frac{7}{2}P(\frac{7}{2})}

γιατί;


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 22, 2019 12:15 pm

Σωστός Γιώργο. Είχα ξεχάσει το τύπο του εμβαδού με τη τριγωνομετρία το οποίο έχουμε δει εδώ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 22, 2019 12:16 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 10:35 am
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 9:59 am
nsmavrogiannis έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 12:48 am
O ad hoc τρόπος που εφαρμόζεται εδώ αλλά όχι γενικότερα είναι να βρούμε τις ρίζες του πολυωνύμου. Δεν τον γράφω γιατί το έκανε ο Τόλης.

Γενικά , πρώτα πάντα ελέγχω αν βρίσκονται οι ρίζες του πολυωνύμου σε τέτοια θέματα. Αν όχι, μετά πάω στα Vieta.
Και πολύ σωστά Τόλη διότι με την εύρεση των ριζών έχουμε μια γρήγορη λύση ενώ με τις σχέσεις Vieta έχουμε αρκετές πράξεις.
Δυστυχώς όμως, λίγες φορές βγαίνει το πολυώνυμο να έχει στρωτές ρίζες.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3917
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Απρ 22, 2019 1:07 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 12:12 pm
\sqrt{\frac{7}{2}P(\frac{7}{2})}

γιατί;
Διότι πολύ απλά αν a,b,c οι ρίζες του P(x) τότε P(x)=(x-a)(x-b)(x-c) άρα αν s η ημιπερίμετρος του τριγώνου παίρνουμε P(s)=(s-a)(s-b)(s-c)

και η ημιπερίμετρος είναι ίση (από τύπους Vieta) με s=\dfrac{7}{2}.

Άρα E=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\dfrac{7}{2}P\left(\dfrac{7}{2}\right)}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Οι ρίζες πολυωνύμου είναι πλευρές τριγώνου

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 22, 2019 7:58 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 22, 2019 12:15 pm
Σωστός Γιώργο. Είχα ξεχάσει το τύπο του εμβαδού με τη τριγωνομετρία το οποίο έχουμε δει εδώ.
Tόλη, δεν τον θυμόμουν αυτόν τον τύπο, που δε νομίζω να τον έχω χρησιμοποιήσει κάπου.

Χρησιμοποίησα τον κλασικό τύπο:  \displaystyle E=\frac{1}{2}bc \eta \mu A , επειδή βόλευε στη συγκεκριμένη περίπτωση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης