Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6808
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Απρ 12, 2019 8:52 pm

Για τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle a,b,c ισχύει:

\displaystyle \begin{array}{l} 
\cos a + \cos b + \cos c = 1\\ 
{\mathop{\rm \sin \alpha}\nolimits}  + sinb + sinc = 1 
\end{array}

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να λάβει το \displaystyle \cos a.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Απρ 13, 2019 12:01 pm

Καλημέρα σε όλους. Χρησιμοποιώ τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς", όπως την περιγράφουν οι Ιησουίτες στη γεωμετρία τους (έκδοση 1912)
και ο Γιώργος Τσαπακίδης σε άρθρο του στον Ευκλείδη Β (λ.α., τ. 2 σσ.28-32).

Θα ήθελα να δω πληροφορίες και γνώμες για τη μέθοδο αυτή.

FGM.jpg
FGM.jpg (109.4 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Εικόνα.jpg
Εικόνα.jpg (86.27 KiB) Προβλήθηκε 635 φορές

Είναι  \displaystyle \cos a = 1 - \cos b - \cos c =  - \cos b + \left( {1 - \cos c} \right)

Θεωρώντας το cosb θετικό και «προς στιγμήν σταθερό», η ελάχιστη τιμή του cosa προκύπτει όταν  cosc=1, οπότε είναι  \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
{\cos a + \cos b = 0}\\ 
{\sin a + sinb = 1} 
\end{array}} \right. ,

άρα  \displaystyle b = 2k\pi  + \pi  - a,\;\;k \in Z , οπότε η δεύτερη ισότητα γίνεται  \displaystyle \sin a = \frac{1}{2} ,

άρα η ελάχιστη τιμή για το cosa είναι  \displaystyle \cos a =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} .

Οι τιμές αυτές επαληθεύουν τις αρχικές ισότητες.

Αν cosb \le 0 τότε cosa \ge 0, οπότε δεν έχουμε ελάχιστο.

Ομοίως αν θεωρήσουμε το cosc θετικό και σταθερό, οπότε  \displaystyle \cos a = 1 - \cos b - \cos c =  - \cos c + \left( {1 - \cos b} \right) κ.ο.κ.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Απρ 14, 2019 11:54 am

Καλημέρα σε όλους. Ο Χρήστος Κυριαζής μού υπέδειξε ότι μπορεί να βρεθεί καλύτερο ελάχιστο (αυτό που δίνω παρακάτω).

Ξαναδοκίμασα το πρόβλημα και βρίσκω το εξής:

Τετραγωνίζω τις ισότητες  \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
{\cos b + \cos c = 1 - \cos a}\\ 
{sinb + sinc = 1 - \sin a} 
\end{array}} \right. και προσθέτω

 \displaystyle 2\left( {\cos b\cos c + \sin b\sin c} \right) + 2 = 3 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right)
 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\cos \left( {b - c} \right) = 1 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right) \Leftrightarrow \sin a + \cos a = \frac{1}{2} - \cos \left( {b - c} \right)

Αφού  \displaystyle \cos \left( {b - c} \right) \le 1 θα είναι  \displaystyle \sin a + \cos a \ge  - \frac{1}{2} με το ίσον όταν
 \displaystyle \sin a + \cos a =  - \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + \sin 2a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin 2a =  - \frac{3}{4} , οπότε  \displaystyle \cos 2a =  \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}

Αν  \displaystyle \cos 2a = \frac{{\sqrt 7 }}{4}, τότε  \displaystyle cos a =  \pm \sqrt {\frac{{4 + \sqrt 7 }}{8}}  =  \pm \frac{{\sqrt {8 + 2\sqrt 7 } }}{4} =  \pm \frac{{1 + \sqrt 7 }}{4} , με το ελάχιστο όταν  \displaystyle \cos a = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{4} .

Αν  \displaystyle \cos 2a =  - \frac{{\sqrt 7 }}{4}, τότε  \displaystyle cos a =  \pm \sqrt {\frac{{4 - \sqrt 7 }}{8}}  =  \pm \frac{{\sqrt {8 - 2\sqrt 7 } }}{4} =  \pm \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}

Άρα έχει ελάχιστο  \displaystyle \cos a = \frac{{ - 1 - \sqrt 7 }}{4} , που επαληθεύει την αρχική, αφού το σύστημα
 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\cos b + \cos c = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\\ 
\sin b + \sin c = \frac{{5 - \sqrt 7 }}{4} 
\end{array} \right. είναι συμβιβαστό (δίνει πράγματι cos(b-c)=1).


ΕΡΩΤΗΜΑ: (αναπάντητο) Μπορεί κάποιος να εντοπίσει το αδύνατο σημείο της προηγούμενης ανάρτησής μου με τη μέθοδο "της προς στιγμήν σταθεράς"; (την οποίαν αφήνω για να συνεχιστεί η συζήτηση).

Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο που μού υπέδειξε μια τυπογραφική διόρθωση και έναν προβληματισμό για το πώς από την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος sina + cosa μεταβαίνουμε στο ελάχιστο του cosa. Αφήνω, βεβαίως, την ανάρτησή μου με τα κενά της ώστε να συμπληρωθεί, αν γίνεται, ή αλλιώς να αποτελέσει αφορμή για συζήτηση.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Δευ Απρ 15, 2019 3:08 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1234
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Απρ 14, 2019 10:16 pm

Ουσιαστικά θέλουμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f(a,b,c)=\cos a κάτω από τις συνθήκες
g(a,b,c)=1 και h(a,b,c)=1, όπου g(a,b,c)=\cos a+\cos b+\cos c και h(a,b,c)=\sin a+\sin b+\sin c.

Δεν μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση γιατί η f(a,b,c) δεν είναι κυκλικά συμμετρική ως προς a, b και c.

Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιαστές Lagrange.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2382
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 15, 2019 9:49 pm

Συμπληρώνω την λύση του Γιώργου.
(το αρχικό κομμάτι είναι αντιγραφή)

Τετραγωνίζω τις ισότητες  \displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 
{\cos b + \cos c = 1 - \cos a}\\ 
{sinb + sinc = 1 - \sin a} 
\end{array}} \right. και προσθέτω

 \displaystyle 2\left( {\cos b\cos c + \sin b\sin c} \right) + 2 = 3 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right)
 \displaystyle  \Leftrightarrow 2\cos \left( {b - c} \right) = 1 - 2\left( {\sin a + \cos a} \right) \Leftrightarrow \sin a + \cos a = \frac{1}{2} - \cos \left( {b - c} \right)

Αφού  \displaystyle \cos \left( {b - c} \right) \le 1 θα είναι  \displaystyle \sin a + \cos a \ge  - \frac{1}{2}

Είναι φανερό ότι το ελάχιστο είναι όταν \cos a< 0,\sin a\geqslant 0

Ετσι έχουμε ότι a\in (\frac{\pi }{2},\pi )

Η  \displaystyle \sin a + \cos a \ge  - \frac{1}{2}
μπορεί να γραφεί
\cos (a-\frac{\pi }{4})\geq- \frac{\sqrt{2}}{4}=\cos \phi

και λόγω της μονοτονίας της \cos
a-\frac{\pi }{4}\leq \phi

Ετσι παίρνουμε ελάχιστη τιμή για το  \cos a
οταν είναι
 \displaystyle \sin a + \cos a = - \frac{1}{2}
αλλά
\displaystyle \sin a + \cos a = - \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin a =- \cos a - \frac{1}{2}\Leftrightarrow (\sin a)^{2} =(- \cos a - \frac{1}{2})^{2}

η τελευταία δίνει
2(\cos a)^{2}+\cos a-\frac{3}{4}=0
λύνοντας παίρνουμε
\cos a=\dfrac{-1-\sqrt{7}}{4}
(αφού θέλουμε αρνητικό)

Μάλιστα βλέπουμε ότι b=c


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2382
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 15, 2019 10:10 pm

Για να δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση καθαρά γεωμετρική.
Θέτουμε
A=(\cos a,\sin a),B=(\cos b,\sin b),C=(\cos c,\sin c)

Τα διανύσματα είναι μοναδιαία και
A+B+C=(1,1)
Το διάνυσμα B+C θα πρέπει να βόσκει στον κύκλο
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1
και να βρίσκεται πάνω η μέσα στον κύκλο
x^{2}+y^{2}=4.
Αυτοί οι κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία.
Ειναι φανερό από το σχήμα (αν μπορεί ας το κάνει κάποιος)

ότι το \cos a γίνεται ελάχιστο όταν το
B+C είναι το σημείο
τομής με την μεγαλύτερητετμημένη.
Ετσι B=C
Υπολογίζοντας βρίσκουμε ότι αυτό το σημείο είναι το

(\dfrac{5+\sqrt{7}}{4},\dfrac{5-\sqrt{7}}{4})=D

τότε το A=(1,1)-D
δηλαδή
A=(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{4},\dfrac{-1+\sqrt{7}}{4})

συμπλήρωμα.Εκανα διόρθωση.Μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τρί Απρ 16, 2019 8:57 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Απρ 16, 2019 8:35 pm

Αναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου.

Το σημείο D είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.

16-04-2019 Γεωμετρία.png
16-04-2019 Γεωμετρία.png (45.32 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές

edit: Έκανα τις διορθώσεις.


(Αν ήμουν προληπτικός θα έλεγα ότι υπάρχουν ασκήσεις που είναι φτιαγμένες για να μας βασανίζουν... ) :mrgreen:
Συνημμένα
16-04-2019 Γεωμετρία.ggb
(22.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 7 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Απρ 16, 2019 9:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2382
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 16, 2019 8:46 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Τρί Απρ 16, 2019 8:35 pm
Αναρτώ το σχήμα για την τελευταία γεωμετρική λύση του Σταύρου.

Το σημείο M είναι το σημείο τομής με τη μεγαλύτερη τετμημένη.


16-04-2019 Γεωμετρία.png
Ευχαριστώ Γιώργο.Αλλά όπως θα δεις και παραπάνω μπέρδεψα την τετμημένη με την τεταγμένη.
Αν δεν σου κάνει κόπος διόρθωσε στο σχήμα το σημείο.Είναι το άλλο.


συμπλήρωμα.Γιώργο μπέρδεψες την τετμημένη με την τεταγμένη.
Το σημείο με την μεγαλύτερη τετμημένη είναι το άλλο.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2382
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Τριγωνομετρία και ελάχιστη τιμή παράστασης

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 16, 2019 10:17 pm

Θα δώσω και μια αλγεβρική λύση που στην ουσία είναι ίδια με την παραπάνω
γεωμετρική που έδωσα.

Θέτουμε x=\cos b+\cos c,y=\sin b+\sin c
Εχουμε ότι
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1,x^{2}+y^{2}\leq 4
Από αυτές τις δύο παίρνουμε ότι

x+y\leq \frac{5}{2}(1)

Για να βρούμε το ελάχιστο του \cos a αρκεί να βρούμε το μέγιστο του x.

Η (1) δίνει x+1+\sqrt{1-(x-1)^{2}}\leq \frac{5}{2}

η x+1-\sqrt{1-(x-1)^{2}}\leq \frac{5}{2}

μεγαλύτερη τιμή για το x δίνει η δεύτερη που γράφεται

x-\frac{3}{2}\leq \sqrt{1-(1-x)^{2}}

μπορούμε να υποθέσουμε ότι x\geq \frac{3}{2}

οπότε υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε

2x^{2}-5x+\frac{9}{4}\leq 0

Κατά τα γνωστά το x=\dfrac{5+\sqrt{7}}{4} είναι μέγιστο.
κλπ


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης