Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Παρ Ιαν 11, 2019 6:32 pm

Καλησπέρα!
Ξέρω ότι είναι περασμένα πράγματα όμως οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται πιστεύω πως είναι όμορφες να υπάρχουν ακόμη
και να απασχολούν τη σκέψη μας.
Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου είναι πεπερασμένο.
τελευταία επεξεργασία από chris_gatos σε Παρ Ιαν 11, 2019 6:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωσα τον τίτλο της δημοσίευσης.


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 11, 2019 8:53 pm

chris_gatos έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 6:32 pm
Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου είναι πεπερασμένο.

Ορισμός 1: Δύο σύνολα A, B είναι ισοδύναμα αν υπάρχει bijection μεταξύ τους.


Ορισμός 2: Ορίζουμε \mathbb{Z}_n =\{ \kappa \in \mathbb{Z}_+: \kappa\leq n \}. Ένα σύνολο που είναι υποσύνολο με κάποιο \mathbb{Z}_n είναι πεπερασμένο.

Αποδεικνύουμε τη παρακάτω πρόταση:


Πρόταση: Έστω g:A\rightarrow B bijection. Αν B \subseteq C τότε η f:A\rightarrow C που ορίζεται ως f(a)=g(a) για κάθε a\in A είναι injection.


Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι f(a_1)=f(a_2). Από τον ορισμό της f , f(a_1)=g(a_1) και f(a_2)=g(a_2) . Τότε , g(a_1)=f(a_1)=f(a_2)=g(a_2) . Οπότε g(a_1)=g(a_2) . Εφόσον η g είναι injection , τότε a_1=a_2 και άρα η f είναι injection.


Πρόταση: Έστω A πεπερασμένο σύνολο και B \subseteq A. Τότε το B είναι πεπερασμένο.


Απόδειξη: Εφόσον το A είναι πεπερασμένο , τότε υπάρχει bijection μεταξύ αυτού και κάποιου υποσυνόλου του \mathbb{Z}_n. Από τη παραπάνω πρόταση υπάρχει injection f:A\rightarrow \mathbb{Z}_n . O περιορισμός της f στο B είναι injection στο \mathbb{Z}_n. Η συνάρτηση g:B \rightarrow Im (f|B) είναι καθαρά bijection. Αρκεί να δείξουμε ότι Im(f|B) \subseteq \mathbb{Z}_n . Καταρχάς, Im(f|B) \subseteq Im(f) . Επιπλέον,

\displaystyle{Im(f|B)=\{n\in\mathbb{Z}_{n}:\exists b\in B |n=f|B(b)\}}
Έστω n \in Im(f|B) . Τότε υπάρχει b \in B : f|B(b)=n . Εφόσον f|B(b)=f(b) για b \in B υπάρχει b \in B | f(b) =n. Επειδή B \subseteq A , τότε υπάρχει b \in A τέτοιο ώστε f(b)=n. Άρα n \in Im(f) . Συνεπώς Im(f|B)\subseteq Im(f) \subseteq \mathbb{Z}_n. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


H απόδειξη είναι από το Cain's Topology. Δε διεκδικώ καμία πρωτοτυπία. Υπάρχει και μία απόδειξη με τη περιστεροφωλιά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 11, 2019 9:49 pm

chris_gatos έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 6:32 pm
Καλησπέρα!
Ξέρω ότι είναι περασμένα πράγματα όμως οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται πιστεύω πως είναι όμορφες να υπάρχουν ακόμη
και να απασχολούν τη σκέψη μας.
Να αποδείξετε ότι κάθε υποσύνολο ενός πεπερασμένου συνόλου είναι πεπερασμένο.
Θεωρώ ότι υπάρχουν πολλές απαντήσεις.
Σε Πανεπιστημιακές σημειώσεις εισαγωγικής θεωρίας συνόλων (όχι αυστηρής)
θεωρείται προφανές.

Για αυστηρή απόδειξη υπάρχουν δύο προβλήματα.
1) Ο ορισμός του πεπερασμένου συνόλου.

Από ότι βλέπω τα περισσότερα σύγχρονα βιβλία θεωρίας συνόλων έχουν
τον παρακάτω ορισμό.

Το σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν και μόνο αν
υπάρχει n\in \mathbb{N}
και 1-1 και επί συνάρτηση f:A\rightarrow n

2)Αν δεχθούμε τον παραπάνω ορισμό πρέπει να ξέρουμε τον ακριβή ορισμό του \mathbb{N}



Για παράδειγμα είδα τον εξής ορισμό για πεπερασμένο σύνολο

Το σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν και μόνο αν
για κάθε 1-1 συνάρτηση f:A\rightarrow A
έχουμε f(A)=A


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 11, 2019 11:18 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 9:49 pm
Για παράδειγμα είδα τον εξής ορισμό για πεπερασμένο σύνολο

Το σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν και μόνο αν
για κάθε 1-1 συνάρτηση f:A\rightarrow A
έχουμε f(A)=A
Θαυμάσιος ορισμός. Χάριν πληρότητας ας δούμε, αν και απλό, μία απόδειξη της προταθείσας άσκησης με βάση αυτόν τον ορισμό.

Έστω A πεπερασμένο και B \subset A. Έστω ακόμα g:B\rightarrow B μία 1-1 συνάρτηση, την οποία θέλουμε να δείξουμε ότι είναι επί.

Την επεκτείνουμε σε όλο το A θέτοντας h(b)=g(b) αν b\in B και h(a)=a για κάθε a\in A-B. Εύκολα βλέπουμε ότι η h είναι 1-1, άρα επί αφού A πεπερασμένο.

Έστω τώρα b\in B. Από το προηγούμενο υπάρχει c\in A με h(c) =b. Αποκλείεται c\in A-B γιατί τότε c=h(c)=b\in B, άτοπο. Άρα c\in B οπότε b=h(c)=g(c) δείχνοντας ότι η g είναι επί.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 11, 2019 11:22 pm

Ας παραθέσει κάποιος και κάποια απόδειξη με την αρχή της περιστεροφωλιάς.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8206
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 12, 2019 1:53 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 11:18 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Ιαν 11, 2019 9:49 pm
Για παράδειγμα είδα τον εξής ορισμό για πεπερασμένο σύνολο

Το σύνολο A λέγεται πεπερασμένο αν και μόνο αν
για κάθε 1-1 συνάρτηση f:A\rightarrow A
έχουμε f(A)=A
Θαυμάσιος ορισμός. Χάριν πληρότητας ας δούμε, αν και απλό, μία απόδειξη της προταθείσας άσκησης με βάση αυτόν τον ορισμό.

Είναι ισοδύναμος με τον ορισμό του Dedekind που λέει ότι ένα σύνολο A είναι άπειρο αν και μόνο αν υπάρχει ένα γνήσιο υποσύνολο B του A και μια ένα προς ένα και επί συνάρτηση f:A \to B. Ένα σύνολο A είναι πεπερασμένο αν δεν είναι άπειρο.

Παρεμπιπτόντως ο συγκεκριμένος ορισμός δεν είναι ισοδύναμος στην ZF με τον συνήθη ορισμό που έδωσε ο Τόλης. Για να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο είναι πεπερασμένο αν και μόνο αν είναι πεπερασμένο κατά Dedekind χρειάζεται μια μορφή του αξιώματος της επιλογής.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περασμένα ναι, ξεχασμένα όχι(:)!

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 12, 2019 2:22 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 12, 2019 1:53 pm
Παρεμπιπτόντως ο συγκεκριμένος ορισμός δεν είναι ισοδύναμος στην ZF με τον συνήθη ορισμό που έδωσε ο Τόλης. Για να αποδείξουμε ότι ένα σύνολο είναι πεπερασμένο αν και μόνο αν είναι πεπερασμένο κατά Dedekind χρειάζεται μια μορφή του αξιώματος της επιλογής.
Βρήκα πολύ ωραία σύνοψη αυτής της πανέμορφης θεματολογίας εδώ. Αξίζει να τα δείτε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες