Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6819
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Τετ Ιαν 02, 2019 3:52 pm

Έστω \displaystyle z μιγαδικός αριθμός. Στο μιγαδικό επίπεδο η απόσταση της εικόνας του \displaystyle z από το \displaystyle 1 είναι ίση με \displaystyle 2, ενώ η
απόσταση της εικόνας του \displaystyle {z^2} από το \displaystyle 1 ισούται με \displaystyle 6. Ποιό είναι το πραγματικό μέρος του \displaystyle z;


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιαν 02, 2019 6:18 pm

Μια κλασική λύση (πιστεύω ότι έχεις και μια απλή γεωμετρική λύση Χρήστο):

Έστω \displaystyle{z=a+bi}. Τότε \displaystyle{z^2 =a^2 -b^2 +2abi}. Από την υπόθεση έχουμε:

\displaystyle{(a-1)^2 +b^2 =4}

\displaystyle{(a^2 -b^2 -1)^2 +4a^2 b^2 =36}

Άρα

\displaystyle{b^2 =3-a^2 +2a}
\displaystyle{a^4 +b^4 +1 -2a^2 b^2 -2a^2 +2b^2 +4a^2 b^2 =36}

Άρα

\displaystyle{b^2 =3-a^2 +2a}
\displaystyle{(a^2 +b^2)^2 -2(a^2 -b^2)=35}

και άρα

\displaystyle{(3+2a)^2 -2(a^2 -3+a^2 -2a)=35}

δηλαδή \displaystyle{a=\frac{5}{4}}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιαν 02, 2019 6:19 pm

Σωτήρη, έχουμε βρει διαφορετικά αποτελέσματα. Μάλλον θα έχω κάποιο λάθος στις πράξεις. (Έχω εδώ τον ενενηντάχρονο πατέρα μου και θέλει συνεχώς κουβέντα και δεν μπορώ να συγκεντρωθώ)
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Τετ Ιαν 02, 2019 6:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιαν 02, 2019 6:20 pm

Για τα Χρόνια Πολλά στον Χρήστο Κυριαζή (και επί τη ονομαστική του εορτή) μία «παραβατική» (;) αντιμετώπιση,…, επί του πιεστηρίου:

\displaystyle{z = r\left( {\cos t + i\sin t} \right),\;\;\left| {z - 1} \right| = 2 \Rightarrow ... \Rightarrow \cos t = \frac{{{r^2} - 3}}{{2r}} \Rightarrow ... \Rightarrow \cos 2t = \frac{{{r^4} - 8{r^2} + 9}}{{2{r^2}}},} και\displaystyle{{z^2} = {r^2}\left( {\cos 2t + i\sin 2t} \right),\;\;\left| {{z^2} - 1} \right| = 6 \Rightarrow ... \Rightarrow \cos 2t = \frac{{{r^4} - 35}}{{2{r^2}}}.}
Επομένως παίρνουμε: \displaystyle{\frac{{{r^4} - 8{r^2} + 9}}{{2{r^2}}} = \frac{{{r^4} - 35}}{{2{r^2}}} \Rightarrow ... \Rightarrow r = \frac{{\sqrt {22} }}{2},} οπότε Re(z)=\frac{5}{4}.

(*) Eυτυχώς Δημήτρη που υπάρχει και ο Μιχάλης Λάμπρου που μου επεσήμανε σε p.m. το λογιστικό λάθος (αντί για -6r^2 έπρεπε -8r^2).
Τελικά το "επί του πιεστηρίου" στοίχισε την παρουσία του "δαίμονα του πιεστηρίου" και το λάθος στις πράξεις ήταν δικό μου. Και πάλι Καλή Χρονιά.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6667
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 02, 2019 7:19 pm

Πραγματικό μέρος μιγαδικού.png
Πραγματικό μέρος μιγαδικού.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 460 φορές

Έστω M(z) η εικόνα του z = a + bi στο μιγαδικό επίπεδο και B( - 1)\,\,,\,\,C(1) οι εικόνες των  - 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,1 .

Επειδή : \left\{ \begin{gathered} 
  |z - 1| = 2 \hfill \\ 
  |{z^2} - 1| = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  |z - 1| = 2 \hfill \\ 
  |(z - 1)(z + 1)| = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  |z - 1| = 2 \hfill \\ 
  2|z + 1| = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  |z - 1| = 2 \hfill \\ 
  |z + 1| = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right..

Αν T η προβολή του M στον πραγματικό άξονα από το δεύτερο Θ. διαμέσων στο \vartriangle MBC θα έχω: M{B^2} - M{C^2} = 2BC \cdot OT \Rightarrow 9 - 4 = 4OT \Rightarrow \boxed{OT = \frac{5}{4}},

Δηλαδή το πραγματικό μέρος του z είναι : \dfrac{5}{4}


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5357
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Πραγματικό μέρος μιγαδικού αριθμού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Ιαν 02, 2019 7:51 pm

Όμως:

\left| {z - 1} \right| = 2 \Rightarrow {\left| z \right|^2} - 2\ Re \left( z \right) = 3,\;\; \left| {{z^2} - 1} \right| = 6 \Rightarrow \left| {z + 1} \right| = 3 \Rightarrow {\left| z \right|^2} + 2{Re} \left( z \right) = 8,
άρα με μία αφαίρεση παίρνουμε \ {Re} \lft( z) \right) = \frac{5}{4}.


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης