Τηλεσκοπική ακολουθία!

#1

Έστω $\displaystyle {\alpha _0} = 1$ και $\displaystyle {\alpha _{n + 1}} = {\alpha _0}....{\alpha _n} + 1$ , $\displaystyle n \ge 0$ .
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{1}{{{\alpha _1}}} + ... + \frac{1}{{{\alpha _n}}} + \frac{1}{{{\alpha _{n + 1}} - 1}} = 1$ για κάθε $\displaystyle n \ge 1$ .

mathfinder · #2

Με μαθηματική επαγωγή.
Είναι $\alpha _{1}=\alpha _{0}+1=2$
Για n=1

: $\frac{1}{\alpha _{1}}+\frac{1}{\alpha _{2}-1}=\frac{1}{\alpha _{1}}+\frac{1}{\alpha _{0}\alpha _{1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
Έστω ότι ισχύει για n=k

, δηλαδή ισχύει
$\frac{1}{a_{1}}+...+\frac{1}{\alpha _{k}}+\frac{1}{\alpha _{k+1}-1}=1$
Θα δείξουμε ότι ισχύει και για n=k+1

$\frac{1}{a_{1}}+...+\frac{1}{\alpha _{k}}+\frac{1}{\alpha _{k+1}}+\frac{1}{\alpha _{k+2}-1}=1-\frac{1}{{\alpha _{k+1}-1}}+\frac{1}{\alpha _{k+1}}+\frac{1}{\alpha _{k+2}-1}=1+\frac{1}{\alpha _{k+1}}-\frac{1}{\alpha _{0}\alpha _{1}...\alpha _{k}}+\frac{1}{\alpha _{0}\alpha _{1}...\alpha _{k+1}}=1+\frac{1}{\alpha _{k+1}}+\frac{1-\alpha _{k+1}}{\alpha _{0}\alpha _{1}...\alpha _{k+1}}= 1+\frac{1}{\alpha _{k+1}}-\frac{1}{\alpha _{k+1}}=1$
Άρα ισχύει για κάθε $n\geq 1$

Αθ. Μπεληγιάννης

#3

Αρχικά είναι $a_{n+2}=a_0a_1\ldots a_n a_{n+1}+1=(a_{n+1}-1)a_{n+1}+1$ .

Συνεπώς $\dfrac{1}{a_{n+2}-1}=\dfrac{1}{(a_{n+1}-1)a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_{n+1}-1}-\dfrac{1}{a_{n+1}} \ \ (1)$

Θα συνεχίσουμε με επαγωγή για να αποδείξουμε την πρόταση.

Για n=1

ισχύει.

Ας υποθέσουμε ότι ισχύει για n=k

δηλαδή ότι

$\displaystyle \frac{1}{{{\alpha _1}}} + ... + \frac{1}{{{\alpha _k}}} + \frac{1}{{{\alpha _{k + 1}} - 1}} = 1 \ \ (2)$

Τότε
$\begin{aligned}\dfrac{1}{{{\alpha _1}}} + ... + \dfrac{1}{{{\alpha _k}}} + \dfrac{1}{\alpha _{k + 1} }+\dfrac{1}{a_{k+2}-1} & \stackrel{(2)}{=} 1-\dfrac{1}{{{\alpha _{k + 1}} - 1}}+ \dfrac{1}{\alpha _{k + 1} }+\dfrac{1}{a_{k+2}-1} \\ &\stackrel{(1)}{=} 1-\dfrac{1}{{{\alpha _{k + 1}} - 1}}+ \dfrac{1}{\alpha _{k + 1} }+\dfrac{1}{a_{k+1}-1}-\dfrac{1}{a_{k+1}}=1 \end{aligned}$

Αλέξανδρος

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 26, 2018 9:36 pm
Έστω $\displaystyle {\alpha _0} = 1$ και $\displaystyle {\alpha _{n + 1}} = {\alpha _0}....{\alpha _n} + 1$ , $\displaystyle n \ge 0$ .
Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle \frac{1}{{{\alpha _1}}} + ... + \frac{1}{{{\alpha _n}}} + \frac{1}{{{\alpha _{n + 1}} - 1}} = 1$ για κάθε $\displaystyle n \ge 1$ .

Εδώ έχουμε τηλεσκοπική... γέννηση! Είναι απλό να δούμε ότι a_1=2, a_2=3

και, όπως και ο Αλέξανδρος

$\dfrac{1}{a_n-1}=\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_{n+1}-1},n\geq 2$

οπότε:

$1=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2-1}=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3-1}= \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3} +\dfrac{1}{a_4-1}$

$= \dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3} +\dfrac{1}{a_4}+\dfrac{1}{a_5-1}= ...=\displaystyle \frac{1}{{{\alpha _1}}} + ... + \frac{1}{{{\alpha _n}}} + \frac{1}{{{\alpha _{n + 1}} - 1}} =...$

#5

Έχουμε δει επίσης την ίδια ακολουθία στο θέμα εδώ καθώς και στους συνδέσμους του.

Τηλεσκοπική ακολουθία!

Τηλεσκοπική ακολουθία!

Re: Τηλεσκοπική ακολουθία!

Re: Τηλεσκοπική ακολουθία!

Re: Τηλεσκοπική ακολουθία!

Re: Τηλεσκοπική ακολουθία!

Μέλη σε σύνδεση