Ελάχιστη τιμή

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8987
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 16, 2018 12:55 am

Αν οι γωνίες x,y είναι οξείες, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης: \displaystyle P = {\tan ^2}x + {\tan ^2}y + {\cot ^2}(x + y)



Λέξεις Κλειδιά:
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1466
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ελάχιστη τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Κυρ Δεκ 16, 2018 10:37 am

Θέτουμε A=90^o-x, B=90^o-y και C=x+y. Τότε οι γωνίες A,B,C είναι γωνίες τριγώνου οπότε θα ισχύει \cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1. Τώρα
\displaystyle {P = {\tan ^2}x + {\tan ^2}y + {\cot ^2}(x + y)=\cot^2A+\cot^2B+\cot^2C\geq \cot A\cot B+\cot B\cot C+\cot C\cot A=1}
Άρα η ελάχιστη τιμή είναι το 1 και πιάνεται όταν \cot A=\cot B=\cot C ή όταν A=B=C=60^o ή x=y=30^o.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελάχιστη τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Δεκ 16, 2018 6:14 pm

Καλησπέρα σε όλους. Μια ακόμα προσέγγιση που χρησιμοποιεί την ίδια ιδέα (στη γενικότερη μορφή της) με αυτήν του Παύλου.

Πρέπει  \displaystyle x,y \ne k\pi  + \frac{\pi }{2},\;\;k \in Z και  \displaystyle x + y \ne \lambda \pi ,\;\;\lambda  \in Z .

Για κάθε a,b,c πραγματικούς αριθμούς ισχύει a^2+b^2+c^2 \ge ab+ bc+ac.

Οπότε  \displaystyle P \ge \tan x \cdot \tan y + \frac{{\tan x + \tan y}}{{\tan \left( {x + y} \right)}} = \tan x \cdot \tan y + 1 - \tan x \cdot \tan y = 1 , με την ισότητα όταν  \displaystyle \tan x = \tan y = \cot \left( {x + y} \right) .

Αφού x, y οξείες γωνίες, έχουμε x=y και  \displaystyle \tan x = \cot 2x \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( {90^\circ  - x} \right) , που δίνει  \displaystyle x = y = 30^\circ .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες