ορθογώνιο τρίγωνο

#1

Να δείξετε ότι το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν:

$\displaystyle \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 11, 2018 12:24 pm
Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο αν και μόνο αν:

$\displaystyle \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} = \frac{1}{2}$

Καλησπέρα Γιώργο

Εστω ότι ισχύει

$cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}-sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C} 2}=\dfrac{1}{2}\ [cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})+ cos(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2})]cos\dfrac{C} {2} -[cos(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2})-cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})]sin\dfrac{C}{2}=1\Leftrightarrow (sinA- cosA)+(sin B-cosB)+(sin C-cosC)=1\Leftrightarrow sin(A-\dfrac{\pi }{4})+sin(B-\dfrac{\pi }{4})+sin(C-\dfrac{\pi }{4}) =\dfrac{\sqrt{2}}{2},$

Θέτω $x=A-\dfrac{\pi }{4},y=B-\dfrac{\pi }{4},z=C-\dfrac{\pi }{4}$

Αρα

$sinx+siny=sin\dfrac{\pi }{4}-sinz,(1), x+y+z=\dfrac{\pi }{4},(2), (1)\Leftrightarrow sin\dfrac{\pi -4z}{8}.cos\dfrac{x-y}{2}=sin\dfrac{\pi -4z}{8}.cos\dfrac{\pi +4z}{8}\Leftrightarrow sin(\dfrac{\pi -4z}{8})=0,(3), cos\dfrac{x-y}{2}=cos(\dfrac{\pi +4z}{8})=0,(4)$

$(3)\Rightarrow \hat{C}=90^{0}, (4)\Rightarrow \hat{B}=90^{0},\hat{A}=90^{0}$

Το αντίστροφο είναι απλό

Γιάννης

#3

Γεια σου Γιάννη, και σ' ευχαριστώ για τη λύση. Ας δούμε μία διαφορετική προσέγγιση, χρησιμοποιώντας δύο γνωστές (για τους παλιούς) ταυτότητες από εδώ.

$\sin A + \sin B + \sin C - (\cos A + \cos B + \cos C) = 4\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2} - \left( {1 + 4\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}} \right)$

$\sin A + \sin B + \sin C = 1 + \cos A + \cos B + \cos C$

$2\sin \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2\sin \dfrac{C}{2}\cos \dfrac{C}{2} = 2\cos \dfrac{{A + B}}{2}\cos \dfrac{{A - B}}{2} + 2{\cos ^2}\dfrac{C}{2}$

$\cos \dfrac{C}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \dfrac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \dfrac{{A + B}}{2}\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \dfrac{{A + B}}{2}} \right)$

$\left( {\cos \dfrac{{A - B}}{2} + \cos \dfrac{{A + B}}{2}} \right)\left( {1 - \dtan \dfrac{C}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos A\cos B\left( {1 - \tan \dfrac{C}{2}} \right) = 0$

$\boxed{A = \dfrac{\pi }{2} \vee B = \dfrac{\pi }{2} \vee C = \dfrac{\pi }{2}}$

ορθογώνιο τρίγωνο

ορθογώνιο τρίγωνο

Re: ορθογώνιο τρίγωνο

Re: ορθογώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση