Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

#1

Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 7$

#2

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 8:38 pm
Να βρείτε τις μη αρνητικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

$\displaystyle {x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} = 7$

Για να τις καταγράψουμε όλες ως διατεταγμένες τετράδες, αν και απλό, είναι επίπονο: Υπάρχουν

περιπτώσεις.

Θα αντιπρότεινα: Δείξτε με απλό συλλογισμό ότι υπάρχουν

περιπτώσεις.

#3

Το λάθος είναι δικό μου Μιχάλη.
Ήθελα να γράψω "βρείτε πόσες είναι οι μη αρνητικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης".
Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.

#4

chris_gatos έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 08, 2018 9:06 pm
Το λάθος είναι δικό μου Μιχάλη.
Ήθελα να γράψω "βρείτε πόσες είναι οι μη αρνητικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης".
Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.

Χρήστο, κανένα πρόβλημα.

Πρόκειται για πολλή ενδιαφέρουσα μέθοδο καταμέτρησης. Την αφήνω για να την σκεφθούν όσοι δεν την
γνωρίζουν ήδη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Υπάρχουν αρκετές λύσεις.

Λόγω φακέλου θα πρότεινα την εξης.

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του $x^{7}$

στο γινόμενο $(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)(1+x+x^{2}+...)=(1-x)^{-4}$

Αλλά $(1-x)^{-4}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-4}{k}x^{k}$

(γενικευμένο διωνυμικό ανάπτυγμα)

Αλλά $(-1)^{7}\binom{-4}{7}=(-1)^{7}\frac{(-4)(-4-1)(-4-2)(-4-3)....(-4-6)}{7!}=\frac{4.5.6...10}{1.2...7}=120$

Αρα ο ζητούμενος αριθμός είναι 120

#6

Ο τρόπος που είχα στον νου:

Τοποθετούμε

πέτρες στην σειρά. Μετά βάζουμε διαδοχικά τρία ξυλάκια ως χωρίσματα, όπως στα παραδείγματα στα σχήματα. Τέλος μετράμε τις πέτρες ανάμεσα σε διαδοχικά ξυλάκια (για το αριστερότερο μετράμε τις πέτρες που είναι αριστερά του, και ανάλογα για το δεξιότερο). Π.χ. στην πρώτη εικόνα είναι 1,1,3,2

. Έχουμε λοιπόν την διαμέριση 1+1+3+2=7

του

. Σε μερικές περιπτώσεις μπορεί να είναι

οι πέτρες ανάμεσα στα ξυλάκια. Τα παραδείγματα δείχνουν διάφορα σενάρια. Κάθε διαμέριση προκύπτει από αυτό τον τρόπο και αντίστροφα.

Πόσες διαμερίσεις έχουμε; Όσοι οι τρόποι να τοποθετήσουμε τα ξυλάκια. Συγκεκριμένα, το πρώτο μπαίνει σε

θέσεις (αριστερά όλων, δεξιά όλων ή στα

ενδιάμεσα). Τώρα δημιουργούνται

θέσεις για το δεύτερο ξυλάκι (επειδή έχουμε

πέτρες και το πρώτο ξυλάκι). Το τρίτο μπαίνει σε

θέσεις. Σύνολο τρόπων $8\times 9 \times 10$ . Πρέπει όμως να διαιρέσουμε με τις διπλομετρήσεις που είναι

, όσο δηλαδή η αναδιάταξη των χωρισμάτων μεταξύ τους. Τελική απάντηση $\displaystyle{\frac {8\times 9 \times 10}{3!}=120.}$

(όχι

που έγραψα εκ παραδρομής αρχικά).

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 09, 2018 1:35 am
Πόσες διαμερίσεις έχουμε; Όσοι οι τρόποι να τοποθετήσουμε τα ξυλάκια. Συγκεκριμένα, το πρώτο μπαίνει ...

Ένας ευκολότερος τρόπος να μετρήσουμε είναι ο εξής: Θεωρούμε 7+3=10

κουτάκια στην σειρά, όσα οι πέτρες και τα ξυλάκια. Οι πέτρες μπαίνουν σε
$\displaystyle{ \binom{10}{7}=120 }$ θέσεις, Τελειώσαμε.

#8

Θεωρώ ότι η συγκεκριμένη μέθοδος θα έπρεπε να είναι πιο γνωστή στους μαθητές από ότι πραγματικά είναι. Όταν διδάσκουμε διατάξεις, συνδυασμούς, μεταθέσεις, θα έπρεπε να διδάσκεται και αυτό.

Το είχα βάλει πέρσι και στο πρόβλημα της εβδομάδας.

Για κάτι αρκετά πιο δύσκολο δείτε και αυτό.

Λάμπρος Κατσάπας · #9

Ουσιαστικά μιλάμε για επαναληπτικές διατάξεις οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή στη συγκεκριμένο πρόβλημα των μη αρνητικών ακέραιων λύσεων γραμμικής εξίσωση.

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 09, 2018 9:20 am
Ένας ευκολότερος τρόπος να μετρήσουμε είναι ο εξής: Θεωρούμε κουτάκια στην σειρά, όσα οι πέτρες και τα ξυλάκια. Οι πέτρες μπαίνουν σε
$\displaystyle{ \binom{10}{7}=120 }$ θέσεις, Τελειώσαμε.

Καλησπέρα και σας ευχαριστώ όλους για τη συνδρομή σας!
Αυτόν τον τρόπο είχα υπόψη μου με πέτρες και ξυλάκια, όπως του Μιχάλη.

Demetres έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 09, 2018 12:11 pm
Θεωρώ ότι η συγκεκριμένη μέθοδος θα έπρεπε να είναι πιο γνωστή στους μαθητές από ότι πραγματικά είναι. Όταν διδάσκουμε διατάξεις, συνδυασμούς, μεταθέσεις, θα έπρεπε να διδάσκεται και αυτό.

Δημήτρη συμφωνώ μαζί σου όμως οι Έλληνες μαθητές δε διδάσκονται πλέον ΠΟΥΘΕΝΑ τέτοια μαθηματικά στην πορεία τους στο δημόσιο σχολείο
και εμείς οι καθηγητές τείνουμε να τα ...ξεχάσουμε. Δυστυχώς αυτή είναι η πικρή αλήθεια.

Καλό βράδυ σε όλους!

Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Re: Εύρεση μη αρνητικών ακέραιων ριζών.

Μέλη σε σύνδεση