Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm

Σε ένα τρίγωνο \displaystyle ABC ισχύει \displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}.

Να υπολογίσετε την \displaystyle \tan A


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10622
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 06, 2018 9:21 pm

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο \displaystyle ABC ισχύει \displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}.

Να υπολογίσετε την \displaystyle \tan A
\displaystyle  \cos A  - \sin A = 10\cos B\cos C - 10\sin B\sin C=10 \cos (B+C) = 10 \cos (180-A)=-10\cos A.

Άρα \sin A = 11\cos A, οπότε \displaystyle{\tan A = 11}


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Δεκ 07, 2018 12:04 pm

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο \displaystyle ABC ισχύει \displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}.

Να υπολογίσετε την \displaystyle \tan A
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:21 pm
chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο \displaystyle ABC ισχύει \displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}.

Να υπολογίσετε την \displaystyle \tan A
\displaystyle  \cos A  - \sin A = 10\cos B\cos C - 10\sin B\sin C=10 \cos (B+C) = 10 \cos (180-A)=-10\cos A.

Άρα \sin A = 11\cos A, οπότε \displaystyle{\tan A = 11}
Κάτι δεν πάει καλά.

Για να δούμε.

Αν μία γωνία είναι 90 τότε από την δεύτερη σχέση θα είναι και ακόμα μία που δεν γίνεται.

Διαιρώντας τις δύο σχέσεις παίρνουμε ότι

\tan A=10\tan B\tan C(1)

προφανώς η (1) είναι λάθος

η σωστή είναι \tan A=\tan B\tan C

Εχουμε

10\cos B\cos C=\cos A=\cos (180-(B+C))=-\cos (B+C)=-\cos B\cos C+\sin B\sin C

Δηλαδή

11\cos B\cos C=\sin B\sin C

Αρα

\tan B\tan C=11

Η τελευταία μαζί με την (1) δίνει

\tan A=10.11=110!!!!!

Με την σωστή (1) δίνει

\tan A=11

Αρα όλα είναι εντάξει.

Ευχαριστώ τον Δημήτρη για την επισήμανση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10622
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σχέσεις τριγωνομετρικών αριθμών γωνιών τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 07, 2018 4:30 pm

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 9:10 pm
Σε ένα τρίγωνο \displaystyle ABC ισχύει \displaystyle \sin A = 10\sin B\sin C,{\rm{ cosA = 10cosBcosC}}.

Να υπολογίσετε την \displaystyle \tan A
.
Και εγώ νομίζω ότι είναι εντάξει το θέμα αλλά αξίζει να δούμε ότι πράγματι υπάρχει τρίγωνο με τα παραπάνω δεδομένα.

Από το \tan A = 11 έπεται \sin  A = \frac {11}{\sqrt {122} } , \, \cos  A = \frac {1}{\sqrt {122} }

Έτσι \frac {1}{\sqrt {122} }-\frac {11}{\sqrt {122} } =\cos A - \sin A = 10 \cos (B+C) και

\frac {1}{\sqrt {122} }+\frac {11}{\sqrt {122} } =\cos A +\sin A = 10 \cos (B-C)

Από την \tan A =11 με κομπιουτεράκι είναι A=84,80 και από τις άλλες δύο είναι B+C= 95,72 και B-C=83,24, άρα B=89,48, \, C=6,24.

Δηλαδή το υποψήφιο τρίγωνο είναι το A=84,80, \, B=89,48, \, C=6,24. Οι γωνίες αυτές έχουν άθροισμα (περί το) 180. Επίσης \sin A = 0,99 = 10 \sin B \sin C. Όλα καλά, λοιπόν.

Εννοείται η σωστή επαλήθευση είναι με χρήση των \arctan και λοιπά, και τις ταυτότητες που ικανοποιούν. Δεν φαίνεται δύσκολο, αλλά δεν το έκανα αφού το κομπιουτεράκι μας λέει ότι μέσες άκρες όλα είναι καλά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης