Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

Συντονιστής: chris_gatos

Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6774
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Πέμ Δεκ 06, 2018 12:16 am

Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

\displaystyle ({\log _5}2x)(lo{g_5}3x) = 12


Χρήστος Κυριαζής

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10622
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 06, 2018 2:38 am

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 12:16 am
Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

\displaystyle ({\log _5}2x)(lo{g_5}3x) = 12
Σίγουρα έχει ρίζες διότι για x=1/2 το αριστερό μέλος είναι 0 (μικρότερο του 12) και για μεγάλα x είναι μεγαλύτερο. Επίσης για πολύ μικρά x είναι μεγαλύτερο, που σημαίνει ότι έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.

Η εξίσωση γράφεται \displaystyle{ ( \log _52  +\log _5 x)( ( \log _53  +\log _5 x)= 12} ή αλλιώς

\displaystyle{ (\log _5 x)^2 +  (  \log _52   +\log _53 ) \log _5x +( \log _52)(\log _53)- 12 =0}

Ως δευτεροβάθμια ως προς \log _5x μηδενίζεται για δύο τιμές του \log _5x (δεν χρειάζεται να κοιτάξω την διακρίνουσα αφού ξέρω ότι έχει ρίζες. Αντίστροφα, θα γλίτωνα όσα έγραψα στην αρχή αν εδώ δούλευα με διακρίνουσα). Και επειδή η \log είναι 1-1 και επί, έχει δύο ρίζες, ας τις πούμε x_1,x_2. Από Vieta

\displaystyle{\log _5(x_1x_2)  = \log _5x_1   +\log _5x_2= -  (  \log _52   +\log _53 )= \log _5 \dfrac {1}{6}}.

Άρα \displaystyle{x_1x_2=  \dfrac {1}{6}}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10622
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 06, 2018 3:48 am

chris_gatos έγραψε:
Πέμ Δεκ 06, 2018 12:16 am
Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

\displaystyle ({\log _5}2x)(lo{g_5}3x) = 12
Πιο απλά.

Η εξίσωση γράφεται \displaystyle (\ln 2x)(\ln 3x) = 12(\ln 5)^2.To αριστερό μέλος έχει παράγωγο \dfrac {\ln 3x }{x} +\dfrac {\ln 2x }{x} = \dfrac {\ln (6x^2) }{x} που μηδενίζεται ακριβώς μία φορά. Εύκολα βλέπουμε ότι η \displaystyle (\ln 2x)(\ln 3x) είναι γνήσια φθίνουσα μέχρι το ολικό της ελάχιστο και γνήσια αύξουσα μετά. Έτσι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες (στο προηγούμενο ποστ ουσιαστικά έδειξα πώς να τις βρούμε, αλλά περιττεύει).

Παρατηρούμε ότι αν a μία ρίζα τότε και η \dfrac {1}{6a} είναι επίσης ρίζα διότι

\displaystyle \left  (\ln \dfrac {2}{6a}\right )\left (\ln \dfrac {3}{6a}\right ) =\left  (-\ln 3a\right )\left (-\ln  2a\right ) =\left (\ln 3a\right )\left (\ln 2a\right ) =12 .

Έτσι το γινόμενο των ριζών είναι \displaystyle{a \cdot \dfrac {1}{6a} =  \dfrac {1}{6}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης