Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

$\displaystyle ({\log _5}2x)(lo{g_5}3x) = 12$

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 12:16 am
Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

$\displaystyle ({\log _5}2x)(lo{g_5}3x) = 12$

Σίγουρα έχει ρίζες διότι για x=1/2

το αριστερό μέλος είναι

(μικρότερο του

) και για μεγάλα

είναι μεγαλύτερο. Επίσης για πολύ μικρά

είναι μεγαλύτερο, που σημαίνει ότι έχει τουλάχιστον δύο ρίζες.

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{ ( \log _52 +\log _5 x)( ( \log _53 +\log _5 x)= 12}$ ή αλλιώς

$\displaystyle{ (\log _5 x)^2 + ( \log _52 +\log _53 ) \log _5x +( \log _52)(\log _53)- 12 =0}$

Ως δευτεροβάθμια ως προς $\log _5x$ μηδενίζεται για δύο τιμές του $\log _5x$ (δεν χρειάζεται να κοιτάξω την διακρίνουσα αφού ξέρω ότι έχει ρίζες. Αντίστροφα, θα γλίτωνα όσα έγραψα στην αρχή αν εδώ δούλευα με διακρίνουσα). Και επειδή η $\log$ είναι 1-1

και επί, έχει δύο ρίζες, ας τις πούμε x_1,x_2

. Από Vieta

$\displaystyle{\log _5(x_1x_2) = \log _5x_1 +\log _5x_2= - ( \log _52 +\log _53 )= \log _5 \dfrac {1}{6}}$ .

Άρα $\displaystyle{x_1x_2= \dfrac {1}{6}}$

chris_gatos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 06, 2018 12:16 am
Να βρείτε το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης:

$\displaystyle ({\log _5}2x)(lo{g_5}3x) = 12$

Πιο απλά.

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle (\ln 2x)(\ln 3x) = 12(\ln 5)^2$ .To αριστερό μέλος έχει παράγωγο $\dfrac {\ln 3x }{x} +\dfrac {\ln 2x }{x} = \dfrac {\ln (6x^2) }{x}$ που μηδενίζεται ακριβώς μία φορά. Εύκολα βλέπουμε ότι η $\displaystyle (\ln 2x)(\ln 3x)$ είναι γνήσια φθίνουσα μέχρι το ολικό της ελάχιστο και γνήσια αύξουσα μετά. Έτσι η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες (στο προηγούμενο ποστ ουσιαστικά έδειξα πώς να τις βρούμε, αλλά περιττεύει).

Παρατηρούμε ότι αν

μία ρίζα τότε και η $\dfrac {1}{6a}$ είναι επίσης ρίζα διότι

$\displaystyle \left (\ln \dfrac {2}{6a}\right )\left (\ln \dfrac {3}{6a}\right ) =\left (-\ln 3a\right )\left (-\ln 2a\right ) =\left (\ln 3a\right )\left (\ln 2a\right ) =12$ .

Έτσι το γινόμενο των ριζών είναι $\displaystyle{a \cdot \dfrac {1}{6a} = \dfrac {1}{6}}$

Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

Re: Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

Re: Βρες όχι τις ρίζες αλλά το γινομενό τους!

Μέλη σε σύνδεση